CHAPITRE V

Les théorèmes de Combescure et de Ribaucour Sgo

Dans le cas des systèmes triples orthogonaux, il y a confusion entre les systèmes parallèles et les systèmes supplémentaires, et l'on peut énoncer la proposition suivante, i\\x\ a été établie par Combescure en i864 '• Élant donné un système triple quelconque, il en existe toujours une infinité d'autres qui lui sont parallèles et qui sont tels, par conséquent, que deux surfa<:es de même paramètre dans les deux systèmes se correspondent par plans tangents parallèles et ont même représentation sphérique de leurs lignes de courbure. Pour obtenir ces systèmes, on peut appliquer les méthodes qui, dans le cas des systèmes conjugués, conduisent, soit aux systèmes parallèles, soit aux systèmes supplémentaires. L'emploi de la seconde conduit à un procédé de récurrence qui est le moyen le plus puissant connu actuellement, pour la recherche des systèmes orthogonaux. Toutes les fois que l'on sait intégrer les trois équations

dp, dpi H,, doj. t»p.. H^. dp,- dpt ~" ^

relatives à un système triple, on peut déduire de ce système, pa,r- des ■ opérations qui n'exigent que des quadratures, une suite illimitée de systèmes triples comprenant un nombre de plus en plus grand de

Pages fondions arbitraires d'une variable. Les résultats précédents conduisent à se proposer le problème suivant : Étant donné un système triple, et plus généralement un système à lignes conjuguées, trouver toutes les droites émanées du point qui décrit le système et qui engendrent une développable lorsque ce point décrit une quelconque des courbes coordonnées. Les seules droites répondant à la question sont, en dehors des tangentes aux courbes coordonnées, les droites qui joignent le point décrivant au point correspondant d'un système parallèle. Hans le cas des systèmes orthogonaux, on recherche si ces droites, qui portent une infinité de points décrivant des systèmes parallèles au proposé, en portent d'autres, décrivant des systèmes orthogonaux correspondant aux systèmes précédents. On est ainsi conduit à un élégant théorème énoncé par Ribaucour en 1869 et qui permet d'utiliser d'une manière nouvelle toute solution 6 des équations (J) : Si, du point M d'un système triple, on porte, sur la normale à la surface de paramètre p,, une

abscisse MA, égale à —^, F étant une solution des trois équa-

lions ( J ) et si, du point A, comme centre, on décrit une sphère tangente en M à la surface de paramètre p;, les trois sphères ainsi obtenues se coupent en un second point M' qui décrit précisément le nouveau système découvert par Ribaucour. Les trois sphères sont aussi tangentes en M' aux surfaces coordonnées de ce nouveau système triple. Malgré son élégance, le théorème de Eiibau«our ne donne rien de plus que la méthode de récurrence indiquée plus haut. On peut, du reste, le démontrer et le généraliser en employant des coordonnées pentasphériques, et l'on est ainsi conduit, pour la première fois, à employer en Géométrie infinitésimale des systèmes d'équations de la forme (J) qui admettent sept solutions particulières liées par une relation quadri(|ue homogène à coefficients constants. Application à un exemple particulier.