CHAPITRE VL

Nouvelle méthode de recherche 4o6

On expose dans ce Chapitre une métiiode de recherche des systèmes orthogonaux qui repose sur la remarque suivante : Au lieu de conserver les équations aux dérivées partielles qui régissent les rotations du trièdre (T), on détermine l'orientation de ce trièdre à l'aide de trois arbitraires, et il ne reste plus qu'à assujettir ces arbitraires à la condition que les rotations p, q^^ /•, soient nulles toutes les trois. Le développement de celle remarque conduit à divers systèmes d'équations. Si l'on emploie d'abord les trois angles bien connus 6, tp, «l* d'Euler, on est conduit à un système de formules qu'Ossian Bonnet a donné dès 1862. On expose à ce sujet comment 0. Bonnet a pu obtenir une réduction de la principale difficulté du problème à l'intégration d'uneéqualion aux dérivées partielles du troisième ordre. Bien qu'obtenue par une voie détournée, celte réduction est la première en date et, à ce titre, mérite d'être signalée. Au lieu des angles 6, cp, <]/, on peut choisir d'autres variables imaginaires qui jouent un rôle essentiel dans

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Pages, la théorie des surfaces étudiées en coordonnées tangentielles. On est alors conduit à un système de trois équations du premier ordre, qui est, de beaucoup, le plus simple connu, et qui se ramène très simplement à une équation du troisième ordre ne contenant que trois termes. On reviendra au Chapitre suivant sur cette méthode qui, bien qu'embarrassée d'imaginaires, paraît la plus puissante de toutes celles qui sont connues. On peut encore substituer aux trois angles d'Euler d'autres variables qui sont dues aussi au grand géomètre et qui permettent d'exprimer les neuf cosinus directeurs par des formules algébriques et rationnelles. Celte méthode, où l'on a eu la précaution de rendre les équations homogènes, conduit à trois équations très symétriques qui se prêtent à diflerenles applications. On indique en paiticulier la suivante: L'étude d'un système triple est liée à celle du mouvement du trièdre (T) formé par les normales aux surfaces coordonnées par rapport à un trièdre fixe ('!',). Dans quel cas le mouvement inverse, celui de (T, ) par rapport à (T), engendre-t-il aussi un système triple orthogonal? On montre comment le dernier système de formules permet d'aborder simplement la solution de ce problème, qui a été donnée par l'auteur en 1908 dans un Mémoire inséré aux Comptes rendus et auquel on renvoie le lecteur.

CHAPITIU-: VII.

Étude approfondie d'une des méthodes précédentes

On revient, pour l'étudier complètement, sur la seconde méthode développée au Chapitre précédent. L'équation aux dérivées partielles du troisième ordre, à laquelle on est conduit par élimination, a été déjà rencontrée et signalée dans l'étude des systèmes triples de M. Bianchi. On donne d'abord l'interprétation géométrique très simple de la variable [x qu'elle détermine. On signale ensuite sa propriété caractéristique. Elle est la seule équation d'une certaine forme qui puisse se réduire, par trois substitutions diflërentes, à ne contenir que trois termes. On montre ensuite l'usage que l'on pourrait faire de cette équation pour établir de nouveau qu'un système triple est déterminé quand on donne trois des surfaces appartenant à des familles diflërentes qui le composent. Complément donné à la méthode. Elle ne faisait connaître que la représentation sphérique ; on indique comment on achèvera de déterminer le système orthogonal. Emploi du système de coordonnées tangentielles a, p, \ pour déterminer les surfaces de paramètre p^. La solution complète du problème se ramène à l'intégration d'un seul système et à une quadrature. Applications de la méthode. M. Adam a formé, dans le système de coordonnées tangentielles a, |â, \, l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui caractérise les familles de Lamé. On retrouve cette équation comme conséquence très simple du système de formules adopté. La seconde application repose sur un théorème nouveau d'Analyse, qui est la généralisation de celui que M. Moutard a fait connaître sur les équations aux dérivées partielles du second ordre à invariants égaux. On est ainsi conduit, par une voie nouvelle, à la méthode de récurrence qui nous a permis

Pages, de déduire, par de simples quadratures, de tout système triple, pour lequel on sait déterminer les systèmes parallèles, une suite illimitée de systèmes nouveaux. La métliode précédente est compliquée d'imaginaires. On indique en terminant un système où les imaginaires se présentent sous une forme plus maniable.