CHAPITRE VIII

Les systèmes triples orthogonaux admettant un groupe continu de transformations de Combescu/e 429

Recherche des systèmes triples dans lesquels le trièdre (T) formé par les normales aux surfaces coordonnées conserve la même orientation pour une infinité continue de points de l'espace. On se borne à dire quelques mots des cas dans lesquels ces points rempliraient l'espace, ou décriraient une surface, pour se borner au cas, vraiment intéressant, où ils sont distribués sur une courbe et où, par un choix convenable des notations, on peut rendre égules les rotations ^-^ et p^■. Ces rotations ne dépendent que des différences des coordonnées curvilignes et la solution du problème se ramène à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre à deux variables indépendantes. Propriétés relatives aux rayons de courbure qui caractérisent les systèmes triples précédents. Ces systèmes, que nous appellerons systèmes (E), donnent naissance à une forme remarquable, pour l'élément linéaire de l'espace. Parmi les systèmes (E), il faut distinguer particulièrement ceux qui sont formés de trois familles engendrées par la translation rectiligne d'une surface invariable. Méthode de récurrence imaginée par M. Egorov et qui permet de déduire d'un système (E), supposé connu, une suite illimitée de nouveaux systèmes (E). Application au cas où l'on prend comme système initial le système dont les trois familles sont engendrées par la translation d'une surface invariable. Détermination faite par M. Egorov des systèmes (E) pour lesquels chaque famille est formée de surfaces homothéliques par rapport à un point fixe. Les systèmes (E) ont été envisagés pour la première fois en 1866 par l'auteur. Depuis ils ont fait le sujet de nombreuses études dues à A. Ribam-our, à M. Petol, à M. Fouché, et surtout à M. D.-Th. Egorov.