FAMILLES FORMEES AVEC DES QUADRIQUES

la droite définie par les équations

= (j< -H P) COSCp,

y = (u-i- et) Sllicp

OÙ a, 1^, tp sont des constantes et u un paramètre variable.

L'application des formules (ii) nous donnera, pour les axes, des expressions très élégantes

la constante y étant déterminée par la relation

(i4) a sin^iy -1- j3 cos^o = Y-

Les qnadriques auront pour équation

Elles feront partie à la fois d'un réseau ponctuel et d'un réseau tangentiel. Leurs huit points communs se confondront, deux par deux, avec les quatre points fixes où elles rencontrent le cercle de l'infini, et elles seront toutes tangentes aux droites qui joignent ces quatre points au centre.

L'équation qui déterminerait les surfaces trajectoires orthogonales serait ici la suivante

(i6) ^^ == ^(3ji + a -t-p + y) -(« + «)(« -^ PX"-^T)-

On en connaît trois solutions particulières :

(17) f =(„-!- p)(jf-t-Y), t={u-hx){u-h-y), t ={u-{-a)(u-h^).

M. Humbert a montré qu'on peut l'intégrer par l'application d'une méthode que j'ai fait connaître autrefois ('), et qui permet d'obtenir l'intégrale générale, quand on connaît un nombre suffisant de solutions particulières.

(') Voir différentes Communications dans les Comptes rendus (t. LXXXVI, I" semestre 1878) et le Mémoire sur les équations différentielles algébriques du

dv premier ordre et du premier degré en -— {Bulletin des Sciences mathématiques, 2* série, t. II).

L'application de celle mélhode donne ici Tinlégrale générale su i va nie

( x[<-(«-Ha)(« + 3)]5«-? = const.

de l'équalion (i6).

59. Revenons au cas général ; la relation différenlielle enlreles carrés des axes appartient à la classe de celles qui ont été l'objet des recherches de PfafT. Nous en avons donné vine première solution générale en employant le théorème de M. Maurice Lévj, relatif à la ligne ombilicale. On peut encore la résoudre de la manière suivante :

Mettons-la sous la forme ( ' )

B(C- A)rf(B - A)^ G(B-A)f^(C — A).

Si l'on pose, en excluant le système des surfaces homofocales,

(19) ' C — \ = u, B-X = ut,

elle deviendra

Bd(ut)= Ctclu,

(') Cette solution nouvelle peut se rattacher à un principe général : Supposons qu'on veuille trouver les fonctions d'une variable les plus générales satisfaisant à une équation telle que la suivante

Ldx-+- M dy -h N dz = 0,

où L, M, N sont des fonctions connues de x, y, z. Si l'on connaît une solution particulière fournie par les équations

oix t ci V désignent deux constantes arbitraires, il suffira de substituer à deux des variables, à x tl a y par exemple, les fonctions t et v. L'équation à résoudre prendra la forme

L' dt + M' dv + N' dz = o;

mais, comme elle doit être vérifiée par les hypothèses dt = o, dv = o, N' sera nul et il viendra simplement

L' dt -h M' dv = o,

équation qui fournira z et permet de prendre pour v une fonction quelconque de t. Ici on peut prendre pour t et v les différences B — A, C — A.

FAMILLES FORMEES AVEC DES QUADRIQUES. Io3

OU encore

Budt ^(C~B)tdu= u(i— t)tdu.

Cette équation, jointe aux précédentes, permet d'obtenir les valeurs de A, B, C, et l'on trouve ainsi

'5jt«(.-01,

IH

(>-o) / B=.(i-Oï^'

Ces formules résolvent la question proposée ; il suffira d'y prendre pour u une fonction quelconque de t. De même que la précédente, cette nouvelle solution montre qu'il y aura une infinité de familles de Lamé algébriques, formées avec des quadriques à plans principaux communs.

Comme application, proposons-nous de rechercher si toutes les quadriques de la famille peuvent faire partie d'un réseau tangentiel, c'est-à-dire sont tangentes à huit plans définis par des équations telles que les suivantes :

± mx ± ny zhpz — q. [1 faudra que A, B, C satisfassent à la relation

Si Ton substitue les valeurs (20) de A, B, C et si l'on pose

s- = m--r- n--hp'-, il viendra l'équation

Si s- est nul. ou se trouve dans le cas spécial signalé par M. Humbert et auquel correspondent les expressions (i3) de A, B, G. Sinon on obtient une équation linéaire dont l'intégrale générale sera

C| désignant une constante arbitraire.

I04 LIVRK I. — CHAPITRE V.

60. En terminant ce qui concerne les systèmes orthogonaux précédents, nous présenterons les deux remarques suivantes :

D'abord, la proposition relative à la ligne ombilicale qui nous a été utile dans l'élude de ces s^ystèmes se rattache à la proposition plus générale suivante, que le lecteur trouvera dans le Mémoire déjà cité de M. Maurice Lévy.

Si l'on construit les lignes ombilicales pour toutes les surfaces qui forment une famille quelconque de Lamé, chacune de ces lignes est une trajectoire orthogonale pour toutes les surfaces dont elle contient un ombilic.

Pour établir cette proposition, il importe de rappeler une propriété caractéristique des lignes de courbure dans le voisinage d'un ombilic ('). Si l'on prend d'abord un point ordinaire M sur une surface, il passe en général deux lignes de courbure par ce point 5 et si l'on trace {fig. 3«) une petite courbe fermée convexe (G) autour de M, les arcs de ces deux lignes de courbure situés à l'intérieur de (G) ont, pour chacune d'elles, des tangentes faisant un angle infiniment petit avec la tangente en M; ou, si l'on veut, les droites qui joignent chaque point d'une ligne de courbure à M font un angle infiniment petit avec la tangente en M, tant que le point considéré est à l'intérieur de (G). Les trajectoires orthogonales qui partent des différents points de (G) forment un tube, et ce tube est partagé en quatre cloisons par les trajectoires orthogonales qui rencontrent l'une ou l'autre des deux lignes de courbure qui se croisent en M.

Au contraire, pour un ombilic, il y aura, à l'intérieur de la courbe (G), des parties de lignes de courbure jouissant de propriétés toutes différentes : la tangente en chaque point de l'une de ces lignes tournera d'un angle fini quand le point se déplacera sur la ligne elle-même sans sortir de la région limitée par la courbe (G) {fig. 36). Gette propriété se conservera évidemment sur toutes les autres surfaces de la famille, aux environs du point où elles sont coupées par la trajectoire orthogonale issue de Mj et, par conséquent, ce point sera aussi un ombilic.

(') Leçons sur la Théorie des surfaces ( IV" Partie, Note VII, p. 448)-

FAMILLES FOUMEES AVEC DES QUADRIQUES. I03

Ainsi se trouve démontrée la proposition de M. Maurice Lévj. Dans le cas des surfaces du second degré, on en déduit immédiatement le corollaire suivant :

Si des sur/aces du second degré à axes inégaux forment une famille de Lamé, les plans principaux de toutes ces surfaces coïncident nécessairement.

En eflfet, soit (S) l'une de ces surfaces et M un de ses ombilics, situé dans un des plans principaux (P). Puisque la ligne ombilicale décrite par M est normale à (S), il faudra que sa tangente

Fiff. 3 6.

en M soit située dans le plan (P). Donc, si l'on considère les positions successives du plan (P), il faudra, ou bien qu'elles coïncident, ou bien que la caractéristique de (P), c'est-à-dire son intersection avec le plan infiniment voisin, passe par M. Or, il est impossible que la caractéristique de (P) passe par les quatre ombilics situés dans le plan (P). Donc, ce plan de symétrie devra être commun à toutes les surfaces.

61. On voit ainsi que la recherche des familles de Lamé formées avec des quadriques à centre unique et à axes inégaux se ramène à l'étude du cas, en apparence si particulier, que nous venons d'examiner. A.u reste, ce résultat peut se rattacher à une proposition plus générale et plus large que nous allons établir. Nous allons montrer que, si une famille de Lamé est composée de surfaces ayant chacune un plan de symétrie, les plans de symétrie de toutes ces surfaces doivent coïncider, excepté dans certains

loG LIVRE I. — CHAPITRE V.

cas particuliers qui sont nettement indiqués par la démonstration elle-même ( ' ).

Pour établir cette proposition, nous fex-ons usage d'une propriété, déjà signalée au n"o4, de l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre qui définit le paramètre d'une famille de Lamé. Cette équation peut être considérée comme établissant une

relation entre les dérivées partielles de deux fonctions cp et cp' = -r-^ ,

prises par rapport k x, y^ z seulement. On pourra donc, dans l'étude du problème, rapporter les surfaces à des axes qui seront variables quand on passera d'une surface à une autre, à la seule condition de calculer exactement o'.

Alors les coordonnées x^y, z d'un point fixe de l'espace seront des fonctions de u dont les dérivées par rapport à cette variable seront données par des équations de la forme

(■i4) ^=ao+[i.-Y^, -^^ = Po + Y^-a.', -^^= ^^,-^ ay - ,x,

a, j^, y, 7.0, ^0, yo étant les composantes, changées de signe, des trois rotations et des trois translations par lesquelles on passe du système d'axes choisi à celui qui se rapporte à la surface infiniment voisine de paramètre u -\- du. Soit donc

(25) ?(^) JK, z, u)= o

l'équation de la surface rapportée à des axes mobiles. La dérivée du premier membre par rapport à u sera

d(f àv dx do dy à-f dz du dx du df du dz du OU

-^ -^-Çl(ao-^ P^ — YJK)-i-<f2(3o-4-T^ — a2)-f-03(Yo-l-aj^— ^x). Telle est l'expression qu'il faut mettre dans H à la place de o'.

(') Le lecteur reconnaîlra aisément que la proposilion subsiste encore lorsqu'il existe pour chaque surface, non plus un plan de symétrie, mais seulement un ou plusieurs plans qui coupent partout la surface à angle droit.