FAMILLES FORMÉES AVEC DES QUADRIQUES. I

ce qui donne

formule que l'on pourrait encore obtenir en suivant la méthode développée au n° 50.

Cela posé, reprenons l'équation du troisième ordre, sous la Corme donnée au n° 4i,

^ ' dx^

et supposons que les axes mobiles aient été choisis de telle manière que le plan des xy soit le plan de symétrie de la surface. Si l'on affecte le symbole cl à lu ligne de courbure suivant laquelle ce plan de symétrie coupe la surface, on aura

dz = 0, ùx — o, oj' = o ; de sorte que l'équation précédente se réduira à la forme simple

oz ■ dx -f- ■ dy) = os rf — - =0.

yOxôz OyOz-^J \dz !

On aura donc, en tous les points de la section (K) par le plan de symétrie,

(?.8) ^ = const.

Il reste à calculer -— •

Oz Or on peut évidemment supposer que l'équation (^5) de la surface ne contienne que les puissances paires de ;:. Il en sera

donc de même de ç»,, cpo, j- ' ^\', et, par suite, les dérivées de ces fonctions par rapport à z s'annuleront avec z, c'est-à-dire pour tous les points du plan de symétrie.

Cette remarque bien simple nous montre que, pour tous les points de ce plan, l'expression de H donnée par la formule (26) aura pour dérivée, par rapport à z, l'expression

^ ^ P?i — «?2+ ?33(yo+ «r — P^) ^

àz v^(f 2 -1- cp2

Io8 LIVRE I. — CHAPITRE V.

de sorte que l'équation suivante

(30} [p<pj a(p2^cp33(Yo4-a7— P^)]2=C2(ï? + ?i),

où C désigne une constante, devra être vérifiée en tous les points de la section (K).

Si a, [3, Yo et C ne sont pas nulles, cette équation ne se réduira pas à une identité. Supposons que la forme des surfaces choisies la rende impossible : il faudra que l'on ait

(3i) a = p = Yo=o, G = o.

Or les trois premières équations expriment que, lorsqu'on passe d'une surface à la surface infiniment voisine, le mouvement du système d'axes choisi est tel que le plan des xy glisse sur luimême. Donc ce plan de symétrie demeurera invariable et restera le même pour toutes les surfaces.

62. Appliquons ces remarques aux surfaces du second degré. La section par le plan principal ayant pour équation

(32) cp(ar,jK) = o,

on devra avoir la relation (3o) oiî îpjs sera nécessairement une constante. Si C n'est pas nulle, l'équation (3o) représentera donc une conique qui devra être identique à la section de la surface par son plan de symétrie. On déduit de là, et de la comparaison des deux équations (3o) et (32), que les droites représentées par les équations

sont tangentes à la section principale; ce qui ne peut arriver, on s'en assure aisément, que dans le cas où cette section se réduit à un cercle, ou bien à deux droites, c'est-à-dire lorsque la quadrique se réduit à un cône ou à une surface de révolution. On sait, en effet, que, dans l'un et l'autre cas, les quadriques peuvent faire partie d'une famille de Lamé sans que leurs plans de symétrie coïncident. Laissons donc cette hypothèse de côté, et faisons C = o.

Supposons, en outre, pour embrasser tous les cas, la section principale rapportée à un de ses axes de symétrie et à la tangente

FAMILLES FORMÉES AVEC DES QUADRIQUES. lOl)

au sommet, de sorte que l'équation de la surface deviendra

hx- -4- •i\x.x -\- ky- -i- l::- — o.

Alors on devra avoir, pour tous les points de la section principale,

P(/tar-t- ii) — ixky-+- l(-(o-^^y— P^) = o, ce qui entraîne nécessairement les conditions

^{h—l) = o, a(A — 0 = 0, /yo+P[ji = o.

Si l'une des quantités /, h — l^ k — / est nulle, la surface est, ou cylindrique, ou de révolution. Ecartons ces deux hypothèses et nous retomberons sur les équations (3i). Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Toutes les fois qu'une famille de Lamé est composée de surfaces du second degré qui ne sont ni coniques, ni cylindriques, ni de révolution^ les plans principaux de toutes ces surfaces coïncident .

63. Revenons au cas général. On peut donner une interprétation élégante de l'équation (3o). Considérons la surface représentée par l'équation

(33) ç(a-,jK,-, «) = o,

et admettant le plan des xy pour plan de symétrie ; menons-lui la

normale en un point quelconque {x,y^ z). Celte droite aura pour

équations

et le point où elle coupera le plan de symétrie sera défini par les formules

(34) Z=„, X=.-ili, Y=^-iJ.

Si le pied de la normale se rapproche d'un point M de la section (K) par le plan de symétrie, z tendra vers zéro, ^ aura pour limite ©33 et le point (X, Y), défini par les équations précédentes,

IIO LIVRE I. — CHAPITRE V.

deviendra le centre de courbure principal relatif à la section normale en M au plan de symétrie.

En appelant x' , y' les coordonnées de ce centre, p le rayon de courbure principal correspondant, on aura donc

et la formule (3o) prendra la forme suivante :

(3G) Cp = aj''— ^j^'-hyo;

ce qui veut dire que le rayon de courbure doit, ou bien être constant si a et [3 sont nuls, ou bien être proportionnel à la distance du centre de courbure à une droite du plan. Cette droite, représentée par l'équation

aj— piP + Yo = o,

est d'ailleurs le lieu des points du plan de symétrie dont la vitesse est parallèle au plan; c'est-à-dire c'est la caractéristique du plan, ou l'intersection du plan avec sa position infiniment voisine. Si C devait être nul, le centre de courbure serait sur cette droite.

On peut encore, pour interpréter la condition précédente, remarquer que la sphère admettant pour centre le centre de courbure et pour rayon le rayon de courbure, c'est-à-dire la sphère osculalrice en M à la surface suivant la direction normale au plan de symétrie, doit couper sous un angle constant tout plan fixe passant par la caractéristique, ou bien avoir son rayon constant si cette caractéristique est rejelée à l'infini. Nous avons donc le théorème suivant :

Pour que des surfaces qui forment une famille de Lamé et ont toutes des plans de symétrie soient disposées de telle manière que ces plans de symétrie ne coïncident pas, il est nécessaire que toutes les sphères osculatrices à chacune de ces sut faces, en tous les points de la section par un plan de symétrie et suivant la direction normale à ce plan, coupent sous un angle constant l'un quelconque des plans qui passent par la caractéristique du plan de symétrie^ ou qu'' elles aient un rayon constant si cette caractéristique est rejetée à V infini.

F.VMIl.i.ES FORMEES AVEC DES QUADRIQUES. III

Ci. Appliquons cette proposition à la recherche des familles de Lamé composées de surfaces de révolution. Alors tout plan passant par l'axe de révolution sera un plan de symétrie. Si l'on a choisi cet axe pour axe des x^ on aura ici

et p sera la portion de la normale à la section méridienne comprise entre l'axe et le pied de la normale. L'équation (36) deviendra donc ici

(3-) Cp = Yo-?:^^'.

En général, il n'y a pas une relation aussi simple entre la normale à la méridienne et l'abscisse du point où elle coupe l'axe. Il faut donc que l'on ait

(38) C = o, Yo=o, p = o,

et ces relations devront avoir lieu pour tous les méridiens. Les deux dernières expriment donc que ni la translation, ni la rotation infiniment petite du système d'axes choisis ne jieuvent avoir de composante normale à l'axe de révolution. En d'autres termes, V axe doit demeurer fixe et rester le même pour toutes les surfaces. Cette condition est d'ailleurs suffisante, nous l'avons vu (n" M).

Mais supposons qu'il existe, entre p et x' , une relation de la forme (07). Alors, si 0 = 0, on a une sphère; si ^ = o, on a, soit une sphère, soit un cylindre de révolution. Dans tous les autres cas, la méridienne se réduit, soit à une droite, soit à un cercle. Les surfaces correspondantes sont donc, soit des sphères, soit des cylindres ou des cônes de révolution. Ces cas d'exception étaient à {)révoir : on sait, par exemple, que l'on peut former une famille de Lamé avec des cônes assujettis uniquement à avoir le même sommet, ou avec des cylindres assujettis seulement à avoir leurs génératrices rectilignes parallèles à une droite fixe.

Nous nous contenterons seulement d'énoncer une proposition analogue à la précédente, et pour la démonstration de laquelle nous renverrons le lecteur à un travail déjà cité (').

( ' ) Mémoire sur la théotie des coordonnées cur^'il ignés et des systèmes or