CHAPITRE V

Si une famille de Lamé est composée de surfaces anallagm.atiques ('), les sphères par rapport auxquelles les diverses surfaces sont anallagmatiques doivent coïncider, à moins que la condition suivante ne soit remplie.

Considérons la section (K) de chaque surface par la splière (S) relativement à laquelle elle est anallagmatique, et construisons, en chaque pointM de cette section, la sphère osculatrice à la surface suivant la direction normale à (K). Cette sphère osculatrice devra couper sous un angle constant, quel que soit le pointM^ le plan radical de (S) et de la sphère analogue relative à la surface infiniment voisine.

65. Nous terminerons ce Chapitre en développant ici une application; qui s'y rattache naturellement, de la méthode indiquée auxn°^ 10 et 11. Proposons-nous la solution du problème suivant.

On sait qu'il existe une infinité de systèmes doubles orthogonaux définis de la manière suivante : la première famille est formée des surfaces (S), lieux des points pour lesquels la somme des distances à deux surfaces fixes (A) et (B) est constante; la deuxième est formée des surfaces (S'), lieux des points pour lesquels la différence des distances aux mêmes surfaces (A) et (B) est constante. On demande si l'on peut compléter le système et adjoindre aux deux familles de surfaces (S), (2') une troisième famille, formée de surfaces (S) qui les coupent à angle droit.

Comme les courbes d'intersection des surfaces (S), (S') sont les mêmes que celles des surfaces parallèles aux deux surfaces fixes (A) et (B), il est clair que le problème posé est identique au suivant :

Étant données les surfaces parallèles à deux surf aces fixes (A) et (B), y a-t-il une troisième famille de surfaces les coupant à angle droit?

thogonaux {Annales de l'École Normale, 2^ série, t. YII, p. i36-i38; 1878). On déduit de cette proposition la détermination de toutes les familles de Lamé formées avec des cyclides générales.

(') Voir, pour la définition des surfaces anaUagmaliques, Leçons sur la théorie des surfaces (I" Partie, p. 258, n" 172).

FAMILLES FORMÉES AVEC DES QUADRIQUES. Il3

Appelons v et w les paramètres des deux familles données de surfaces parallèles, et u le paramètre de la famille cherchée. Les conditions du problème s'expriment par les relations suivantes :

(^9) ^'r -+-<-"! +^•'3 ~ I, «Vf -^ W| -I- IV|= I, ZuV=zO, 0„«' = O,

qui rentrent dans le tjpe déjà examiné au n° 10. En appliquant la méthode que nous avons fait connaître, on en déduira les relations

puis

et des équations semblables pour çp, ce qui conduira à deux équations du troisième ordre pour la fonction u.

66. Mais la question se simplifie beaucoup si l'on emploie des considérations géométriques. Les surfaces de paramètres v, w étant parallèles et orthogonales aux surfaces de paramètre ?/, leurs normales, qui sont, pour elles, des trajectoires orthogonales, doivent être nécessairement situées sur les surfaces de paramètre u. Ces surfaces doivent donc pouvoir être engendrées de deux manières différentes par une droite, ce qui exige qu'elles soient, ou des plans, ou des surfaces du second degré.

Le cas où elles sont des plans a été déjà traité (Chap. II) et fournit la solution la plus générale du problème.

Le cas véritablement intéressant est celui où l'on suppose que les surfaces de paramètre u sont du second degré; nous allons l'étudier en détail, en nous bornant au cas où leurs axes sont inégaux.

Comme les surfaces forment une famille de Lamé, elles devront avoir les mêmes plans principaux. Commençons par supposer qu'elles aient un centre et que leur équation soit

(42) ax^-^ by^-{- cz^= i.

Il4 LIVRE I. — CHAPITRE V.

a, b^ c désignant des fonctions de u. On devra avoir ici

1 pf -4- p| -I- f? — I,

f axV] 4- 6j'P2 -^ czv^ = o,

axwi+ byw^-^ czw^=^ o,

et, en appliquant l'équation (4o),

av\ -\- bv\ -+- c(^| = o,

aw\

Ces équations sont d'ailleurs géométriquement évidentes : elles expriment que les normales aux surfaces de paramètres p, w sont les génératrices rectilignes de la surface. En écrivant que la deuxième équation (43) et la première (43) sont compatibles, c'est-à-dire que leur crochet est nul, on trouvera après quelques réductions

{ -^ {c'^a -\- a^c'){zvi — xv^y=o,

ua-

et une équation semblable pour w. Or en combinant les éq lions (42), (43)7 (45), on obtient la suivante :

(47) ab{xv^ — y^\)'^-^ bc{yv^ — zviy-+- ac{zvi — xVzY^o.

Ces deux dernières équations (46), (4?) devant être vérifiées aussi quand on y remplace v par w, il faut qu'elles soient identiques l'une à l'autre; ce qui donne comme conditions

a'^b' -\-b-a' b^c'-\-c^-b' c^a'-hci^c' ^^ ' ab ~ bc ^ ac

Si l'on revient aux notations primitives et si l'on écrit l'équation des quadriques cherchées sous la forme déjà emplojée

(49) A+-B + C='' les équations précédentes deviennent

(50) G(^A -i- c/B)= B(rfA H-ûfG)= A(arB4- f/C),

FAMILLES FORMEES AVEC DES QUADRIQUES. Il5

et elles définissent complètement le système cherché. On verra sans peine qu'elles entraînent, comme cela devait être, la relation (2).

67. Les équations (5o) ont été intégrées pour la première fois par Halphen (' ).

Voici une méthode nouvelle et très simple pour efTectuer cette intégration. Portons dans les équations (5o) les valeurs de A, B, G définies par les formules (20). Nous obtiendrons l'unique équation

, , , d V , , du'\ „ , , du-

Cette équation n'est pas linéaire, mais elle se ramène à une équation linéaire si l'on effectue la substitution

elle se réduit, en effet, à la suivante :

qui est bien connue et qui est celle à laquelle satisfont les intégrales elliptiques complètes K et K' pour lesquelles le carré kdu module est égal à t.

En faisant donc

on aura, a ei b désignant deux constantes,

(55) 0 = aK-+-èK', u={aK+bK'Y.

La solution est ainsi obtenue, mais elle ne se présente pas sous une forme qui permette de l'utiliser en Géométrie.

68. On aurait pu employer une autre méthode, que nous allons simplement appliquer au cas des surfaces dépourvues de centre.

(') Halphen (G.), Sur un système d'équations différentielles {Comptes rendus, t. XCII, p. noi, i" semestre 1881).

Il6 LIVRE I. — CHAPITRE V.

Considérons une famille de paraboloïdes, dont les plans principaux coïncideront nécessairement et qui sera repiésentée par l'équation

OÙ/), ^, r sont des fonctions d'un même paramètre u. Les génératrices rectilignes d'un même système seront définies par les équations

où \ désigne un nouveau paramètre variable; et nous avons à exprimer que ces droites, dépendantes en réalité de deux paramètres u et )>, sont normales à une même surface.

Or on sait (' ) que la condition nécessaire et suffisante pour que la droite définie par les deux équations

jK = ctx -H 2t, z = bx -+- p,

soit normale à une surface, est que l'on puisse intégrer la relation

différentielle

a dy -+■ b dz -^ dx = o,

qui, lorsqu'on y substitue les valeurs de y, z, prend la forme

, / /—z TT \ a dt -\- h d^

dKxJa^--^ 62-1- i)+ -^ = o.

Si l'on remplace ici a, h, a, ^ par leurs valeurs, l'équation précédente deviendra

^.d^Xs/V-^X^p-qS]

X^-pd{\rsJ-p^'^^->^sf=^d{\rsf=r~q-'l^^ "^ " V^^Wp^q)

(') Leçons sur la théorie des surf aces, n" 449 (IP Partie, p. 277).