FAMILLES FORMEES AVEC DES QUADRIQUES. I I

Posons (58) p + q = ih, p — q —-ÎU, ul^ = ]x,

l'équation deviendra

f /• Wix + «fA + 2 u c?r -H A —

(39) d{xs/\-^'i^)-\ '■ z = 0.

Pour que l'intégration puisse se faire, il faut que le second terme soit une différentielle exacte, ce qui donne la condition

„ dh'^iu.dr -^h — ah ' u di-\ = •

Cette équation ne peut être vérifiée, quel que soit [jl, que si l'on a

dli = 0, dr = h — :

et l'équation (og) admettra alors pour intégrale

On aura, h étant une constante, (6r) p — h-\-u, q = h — î<, r = /tLogi<,

et l'équation des paraboloïdes deviendra

(62) h -7 = 2ar -t- A LogM.

Les surfaces parallèles qui sont normales aux génératrices seront définies par l'équation (60), jointe aux deux équations (37) de la génératrice rectiligne.

69. La famille des paraboloïdes n'est algébrique que si l'on a A = o. Dans ce cas, en faisant tourner de 43° autour de O^ les plans des xy et des xz, on ramènera son équation à la forme simple

(63) yz — ux.

Les deux familles qui complètent le système triple orthogonal

Il8 LIVRE I. — CIIAP. V. — FAMILLES FORMÉES AVEC DES QUADRIQUES.

seront alors représentées par les équations

sy--\- x'^ — v'-^^-

dont l'interprétation géométrique est évidente (^ ).

Le résultat précédent est le plus élégant de la théorie ; on peut d'ailleurs l'établir par la Géométrie.

Considérons, en efifet, deux droites OA, OB qui se coupent et sont rectangulaires; les surfaces (S) et (S'), lieux des points tels que la somme ou la différence de leurs distances à ces deux droites soit constante, se coupent mutuellement à angle droit. Pour chaque point M de l'espace, les normales à ces surfaces sont les bissectrices de l'angle PMQ formé par les normales MP, MQ abaissées respectivement de M sur OA, OB. D'autre part, si l'on considère la famille des paraboloïdes (S) qui contiennent OA, OB et ont leurs plans directeurs normaux respectivement à OA et à OB, celui de ces paraboloïdes qui passe en M contiendra nécessairement les droites MP, MQ et sera, par suite, normal à celle des surfaces (S) ou (S') qui passe en M. On a donc ainsi constitué un système triple orthogonal.

La proposition précédente fait connaître les lignes de courbure de la surface lieu des points pour lesquels la somme ou la différence des distances à deux droites qui sont rectangulaires et qui se coupent est constante. On a jusqu'ici essajé vainement de généraliser ce résultat et de déterminer les lignes de courbure de la surface lieu des points pour lesquels est constante la somme algébrique des distances à deux droites qui soient dans une relation moins particulière que celle de l'énoncé précédent.

(') Voir, au sujet de ce système, Leçons sur la théorie des sur/aces (n° 140, I'° Partie, p. 198).