CHAPITRE VI

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A 11 VAUIABLES. EXTENSION DES MÉTHODES PRÉCÉDENTES.

Système des coordonnées elliptiques générales. — On peut de même généraliser le système des cyclides orlliogonales et homofocales et employer, pour le cas de n dimensions, des variables analogues aux coordonnées pentasphériques. — Définition des systèmes complètement orthogonaux à n variables : puisqu'il existe de tels systèmes, l'objet de ce Chapitre sera d'appliquer à leur recherche la méthode déjà employée pour le cas de trois variables. — Problème fondamental : étant données n fonctions formant un système complètement orthogonal, éliminer toutes les fonctions moins une et former les équations aux dérivées partielles, à la fois nécessaires et suffisantes, auxquelles doit satisfaire cette dernière fonction. — Exposé de la méthode : une des fonctions u étant supposée connue, un premier groupe de (/i — i)^ équations permet de déterminer les rapports mutuels des dérivées premières des n — i autres fonctions V, tv, — Ce premier groupe d'équations est identique à celui que l'on rencontre lorsqu'on veut réduire à des sommes composées des mêmes carrés deux formes quadratiques à n variables, ces variables étant d'ailleurs liées par une relation linéaire. — Les équations que l'on obtient ainsi pour chacune des fonctions v^ w^ ..., étant au nombre de n — i, donnent naissance à des conditions d'intégrabilité qui contiendront évidemment les dérivées de m jusqu'au troisième ordre. — En essayant de former de la manière la plus simple ces conditions, on est conduit à deux groupes bien distincts d'équations du troisième ordre

pour u. — Les premières, au nombre de > sont analogues a

l'équation formée dans le cas de trois variables et jouissent, comme elle, de la propriété de s'écrire sous une forme simple à l'aide des dérivées secondes de la fonction

H =(«!+ ul-\-... + ul)~'^.

Les secondes, au nombre de i — — ^ — — -j n'apparaissent que lorsque

n est supérieur à 3. — Si l'on veut interpréter en langage géométrique les résultats précédents, on peut d'abord généraliser la notion de normale à une sur/ace, ce qui conduit naturellement à l'extension de la définition des directions principales et des lignes de courbure. — Dans un espace à n dimensions, il y a n — I directions principales, et par suite n — i systèmes de lignes de courbure, pour chaque surface. — Deux directions principales différentes sont à la fois orthogonales et conjuguées. — Cette notion des lignes de courbure une fois introduite, le théorème de Dupin se généralise immédiatement : si une surface fait partie d'un système complètement orthogonal, les surfaces qui appartiennent aux autres familles admettent pour normales en chaque point de la

surface considérée les directions principales de cette surface; par conséquent, prises n — 2 à n — 2, elles coupent cette surface suivant une de ses lignes de courbure. — Mais il faut prendre garde ici à une propriété tout à fait nouvelle : une surface quelconque prise dans l'espace à n dimensions, n étant supérieur à 3, ne saurait faire partie d'un système complètement oj-thogonal; pour qu'il en soit ainsi, il faut que ses lignes de courbure soient coordonnées. — On dit que les lignes de courbure sont coordonnées lorsqu'on peut choisir n—i fonctions dont une seule varie sur chaque ligne de courbure de la surface. — Lorsque les lignes de courbui-e d'une surface sont coordonnées, la surface peut faire partie d'un système complètement orthogonal : on le reconnaît en généralisant la théorie des surfaces parallèles. — Application des résultats précédents aux surfaces définies par l'équation X,+ X2+...+X„=: o. — Condition pour que leurs lignes de courbure soient coordonnées. — Systèmes orthogonaux comprenant une famille définie par l'équation m = X, + . . .-i-X„. — Généralisation des propositions de MM. Bouquet et J.-A.. Serret. — Systèmes orthogonaux comprenant la famille m = a7'"i . . . a;^". — Détermination simple des autres familles. — Étude de différents systèmes orthogonaux, détermination des lignes de courbure de différentes surfaces, parmi lesquelles on peut signaler les surfaces tétraédrales de Lamé. — Les résultats obtenus dans ce Chapitre donnent notamment les lignes de courbure d'un grand nombre de surfaces du troisième ordre, dans l'espace à trois dimensions.

70. On sait toute l'importance que présentent en Mécanique la méthode du changement de variables et l'emploi d'un système de coordonnées analogues aux coordonnées elliptiques dans le plan et dans l'espace. Dans ses Vorlesungen, Jacobi, étendant à un nombre quelconque de variables les méthodes employées par Lamé, a fait de belles et de nombreuses applications du changement de variables suivant.

Étant données n variables indépendantes .2;,, x-i, . . . , x,i et n constantes quelconques a,, «o? •••; ««; désignons par p,, p2, • • -, On les n racines de l'équation en p

racines qui sont réelles et distinctes toutes les fois que les constantes CLk et les variables Xh sont réelles. Il est aisé de montrer

Prt satisfont aux équations

que ces n i

onctions p,, . . . , p^ s

suivantes :

V* ^9i àp/,

SYSTEMES ORTHOGONAUX A n VARIABLES. 121

Toutes les fois que des fonctions satisferont à ces équations simultanées, nous dirons qu'elles forment un système complètement orthogonal, à n variables ou un système complètement orthogonal dans un espace à n dimensions.

A l'exemple précédent, étudié par Jacobi, il est aisé d'en ajouter un autre, en généralisant la méthode qui a été suivie dans nos Leçons (') pour la définition et l'étude des coordonnées pentasphériques. Désignons par R une constante quelconque et substituons aux n variables ^,, ;r2, . . . , x^ les /i + 2 variables /^A définies par les relations

y h ~ ^ 2 aY a?! -i- 2 af ^2 -+- . . . -H u a;* Xn (3) ^ *-

où les constantes a'^' , . . . , a^^^ sont les coefficients d'une substitution orthogonale et satisfont par suite aux relations

i (at)^+(a§)2-4-.. -+- r4+2? =., ^'^ 1 a'ia'r-^ -^a't..,a'î' , = 0.

Les variables jkaj au nombre de n + 2, constitueront, dans l'espace à n dimensions, un système de coordonnées homogènes surabondantes liées par la relation

et analogues aux coordonnées pentasphériques de l'espace à trois dimensions. Si

,g. i ?(7l,72, ...,JK«+2) = 0,

1 <{^(jKl, J2. •••,7«+2) =0

représentent les équations de deux surfaces écrites, dans ce système de coordonnées et homogènes, il suffira de répéter les

(') Leçons sur la théorie générale des surfaces (Livre II, Ch. VI, I" Partie,

raisonnements relatifs aux coordonnées pentasphériques pour reconnaître que la condition d'orthogonalité des deux surfaces précédentes prend, avec les nouvelles variables, la forme suivante

do d<]^

tout à fait pareille à celle que l'on aurait à écrire avec les x/i, mais contenant deux variables de plus. Il suffira, bien entendu, que la relation précédente ait lieu en vertu des équations (6) des deux surfaces.

L'emploi des variables précédentes nous permet d'adjoindre au système des coordonnées elliptiques de Jacobi un système plus général formé avec des équations du quatrième ordre. Introduisons, à cet effet, /i + 2 constantes a/i et considérons l'équation homogène

^ ^ l — Clh

qui est, en général, du quatrième ordre en cCt, x^-, • • • , Xn-

Elle définit seulement n valeurs pour \; car, après que l'on a chassé les dénominateurs, le coefficient de X"''"' est nul en vertu de la relation identique (5) entre les coordonnées. Soient p,, P2, ..., prt ces n valeurs de \. Elles satisfont, pour les mêmes raisons que dans le cas précédent, aux équations

et forment, par conséquent, un système orthogonal.

De ces systèmes orthogonaux, on peut en faire dériver une

infinité d'autres par des méthodes sur lesquelles nous aurons à

revenir ('); on peut donc affirmer que, si l'on considère les

n(n — 1) , équations

/i = n /ON ^ A. V ^«' <^a*

( ' ) Voir, en particulier, 1e\ Note : Sur une nouvelle série de systèmes orthogonaux algébriques, insérée, en 1869, aux Comptes rendus (t. LXIX, p. 892).