Je considère donc n fonctions

satisfaisant aux équations (8) et je conserve les notations déjà employées au Chapitre I. Ainsi, a^ désignera la dérivée de a' par rapport à X]ç. Du reste, pour éviter autant que possible des notations compliquées, chaque fois que nous aurons à considérer un nombre limité de fonctions a', nous les désignerons par les lettres u, V, iv, t, a sans indice. Rappelons aussi que nous avons posé comme définition

et il résulte de la formule (27) (n" 9) que ce symbole est nul toutes les fois que u, v, w désignent trois fonctions a* différentes. Le premier point que nous avons à traiter, et le plus important, est le suivant :

Éliminer des équations (8) par des dérivations toutes les fonctions, moins une que nous désignerons par la lettre «, et rechercher toutes les équations nécessaires et suffisantes auxquelles doit satisfaire cette fonction u pour que le problème ait une solution.

Aux équations (8), qui peuvent s'écrire

nous aurons à ajouter les suivantes

qui, jointes aux précédentes, constituent un système de (n — i)^ équations ne contenant que les dérivées premières des fonctions ç', w, ... et, d'ailleurs, homogènes par rapport aux dérivées de chaque fonction. Elles déterminent donc complètement les rapports mutuels de ces dérivées en fonction des seules dérivées premières et secondes de u. Du reste, la résolution de ces équations équivaut à la solution du problème d'Algèbre suivant :

Ramener par une substiLution linéaire les deux formes quadratiques

à des sommes composées des mêmes carrés au nombre de n — i , sous la condition que les variables yt soient liées par la relation

(l3) MjJKi-f- W2jK2-i-- • ■-!- ««JK«= O.

En effet, si l'on se propose de résoudre ce dernier problème, il faudra poser

jKi -=ai^i-t-piZ2-h...-4-Xi^„,.

5,, ;52j •■ •-, ^n-\ étant les variables dont les carrés figureront seuls dans les deux formes quadratiques, et l'on devra avoir d'abord les relations

Iai ifii -i- . . . -H a,i Un -— o, Pi M,-'-. . .-+-P„if„=rr O,

! );i«i -H. . .+ XrtJf„= o,

déduites de la formule (i3). Puis, en exprimant que les formes

SYSTEMES ORTHOGONAUX A n VARIABLES. 125

quadratiques (12) ne contiennent pas les rectangles des variables, on obtiendra les deux systèmes suivants :

Ce sont, aux notations près, les équations (8), (9) que nous avons à résoudre; c'est ce que nous voulions prouver.

On sait que la solution du problème précédent est donnée par les formules suivantes :

Les dérivées de l'une quelconque des fonctions ç, w, . .., de v par exemple, satisfont à des équations telles que les suivantes .

^Uiki>i-= IVi-h [lUi

En éliminant les dérivées Vi ainsi que \k, on obtiendra pour \ l'équation suivante :

X Un O

de degré n — i en >., et qu'il faudra résoudre si, supposant la fonction u connue, on veut trouver les rapports des dérivées des n — I autres fonctions. Comme [Ji demeure arbitraire, ces rapports seuls sont, en effet, connus.

Pour déterminer les fonctions ç, w . . ., elles-mêmes, on aura doue à intégrer des équations aux différentielles totales de la forme

Al dxi H- ... 4- Art dxn = o

Pour que des équations de celte forme soient intégrables avec une constante arbitraire, qui sera ici égalée à la fonction ç correspondante, il faut que certaines relations entre les coefficients A,- et leurs dérivées premières soient vérifiées identiquement. Gomme ces coefficients Aj dépendent des dérivées premières et secondes de u, on voit que cette fonction u devra satisfaire à certaines équations aux dérivées partielles du troisième ordre. Ce sont ces équations, à la fois nécessaires et suffisantes, que nous allons d'abord rechercher,

72. Mais, auparavant, nous avons à établir quelques identités qui nous seront indispensables. Désignons, en général, par Ga' l'expression

(21) G^i = /8^i^\/{a{)^+{:Liy-^... + {aiy; il est clair que les quotients

(22) , bik

sont les coefficients d'une substitution orthogonale; car on a, par la définition de Ga',

et les équations (8) donnent

( 24 ) àii b/,! + 6/2 6/1-2 -r- ... + bin bka = O.

On aura donc aussi, d'après les propriétés des substitutions orthogonales,

{■i5) bl + bl,+...+ bh=i,

(26) eu- 6u- +.-.-+- 6„/ 6„,t =0

Cela posé, si l'on désigne par a, ç^ w, «, t cinq fonctions du groupe considéré, on aura, par définition,

et, en multipliant membre à membre et divisant ensuite par

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A n VARIABLES. 127

a"^ + . . . 4- %J^ que nous désignerons par G^,

la somme devant être étendue à toutes les valeurs de /, y, A", l. Si nous remplaçons la fonction a successivement par toutes les fonctions a' , a-, . . . , a'^ et que nous fassions la somme de tous les résultats obtenus, alors, en vertu des formules (26) et (26), tous les termes du second membre, dans lesquels /, j sont différents, donneront une somme nulle et, pour les autres, le coefficient de iVffViUiktii sera l'unité. On aura donc

la somme du premier membre se composant de n termes obtenus en remplaçant a par a', a-, . . ., a". Le second membre peut s'écrire

Nous adopterons, pour le désigner, la notation

Supposons d'abord les quatre fonctions w, ç, w, t différentes les

unes des autres. Comme on sait que i ' j est nul toutes les fois

que les fonctions sont différentes, on verra facilement que tous les termes du premier membre de l'équation (27) sont nuls; car le premier facteur est nul si a est différent àe v el de t\ et, si a est V ou ;, le second facteur est nul. On a donc

si u^ p, w, t sont différents.

On pourrait faire beaucoup d'autres hypothèses. En voici une qui nous conduira à une formule que nous aurons à employer.

Supposons que l'on fasse t=u, v demeurant distinct de w et de w; le premier membre de l'équation (27) se réduira au seul terme pour lequel on a a = w ; et l'on aura, par suite,

II, ^\/ii, ^\ — a^ (^' ^

Il /\ Il I "^\u,u

ou, en ordonnant par rapport aux dérivées de p, w,

(3o) ^'^ViWkiGl KiUk — 8„ Ui 8„ Uk) = o.

Ces deux identités (29) et (3o) suffisent pour les résultats que nous voulons obtenir, et nous allons chercher maintenant les équations du troisième ordre auxquelles satisfait la fonction u.