Remarquons d'abord que l'équation

est de la forme de l'équation (32) du n" 10. En lui appliquant la formule (33) du même numéro, nous aurons

Si, dans cette équation, on remplace les dérivées de f, iv par toutes leurs valeurs possibles, on aura un premier groupe de

^ équations auxquelles devra satisfaire la fonction u.

Ce sont les équations analogues à celle que nous avons formée dans le cas de trois variables.

Je dis d'abord que, si l'on pose

ces équations peuvent être mises sous la forme irrationnelle

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A II VARIABLES. lag

On a, en effet,

Hu = ^^^ = - HHG,! 5„ uik + 01 ô„, uk - 3 o„ m 8„ îu), et par suite

— 3 H5 \ \ V^/ tP A- ( G;, 0„, Uk — 0„ Ui 0„ M;;.) ,

ou, en tenant compte de l'identité (3o),

(33) ~ ÏÏ3 22 ^' "''''' ^^''' ~ 22 ^' "^^" ^ ^" "''' ~ ^ ^"' "'^' ■* '

ce qui justifie le résultat annoncé.

Mais les — équations (3i) ne sont pas les seules

auxquelles doive satisfaire la fonction a. Appliquons l'opération Of , t désignant une des fonctions du système, différente toutefois de ;/, ^, w, au symbole

Cette opération, appliquée sur les lettres c',çv, donne les termes

2 ^t Vi o,v, Ui -(- 2 ^' ^'^' ^•' "'■ ' appliquée à la lettre «, elle donne

somme qui est symétrique par rapport à ?, c, (r. On a donc, en se rappelant la notation (28),

Donc, toutes les fois que ^, v, (v seront différents, on aura, en D. 9

l3o LIVRE I. — CHAPITRE VI.

se rappelant les formules (i i) cL (29),

ce qui constitue un nouveau type d'équations du troisième ordre auxquelles doit satisfaire la fonction u. Remarquons que l'équation précédente peut être obtenue de trois manières différentes, par la différentiation des trois équations distinctes

Elle est le type de - — — -, — équations nouvelles du

troisième ordre qui ne se présentaient pas dans le cas de trois variables et auxquelles devra satisfaire la fonction u. Nous obtenons ainsi deux groupes tout à fait différents d'équations du troisième ordre pour cette fonction u.

74. Avant de continuer l'exposition, je vais montrer que ces équations, qui sont nécessaires, sont aussi suffisantes, et que, lorsqu'elles sont satisfaites, on peut trouver les n — i autres fonctions complétant le système orthogonal. En effet, ces fonctions sont définies, nous l'avons vu, par des équations de la forme

Al A2 A„

Pour que ces équations soient compatibles, il faut et il suffit, on le sait, que toutes celles qu'on en déduit en les différentiant soient des conséquences des précédentes et se réduisent à

rt(n-Hi)

qui ne pourront même pas complètement déterminer les dérivées secondes ; car, si les équations (36) sont vérifiées, elles le seront encore lorsqu'on y remplacera v par œ(c^), ce qui permet, pour chaque système de valeurs des variables indépendantes, de donner une valeur arbitraire à l'une des dérivées secondes de v.

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A II VARIABLES. l3l

Au lieu de résoudre les équations = 0, t^u

pour oblenir les systèmes tels que (36), nous allons les différentier par rapport à toutes les variables et voir si les équations qu'on obtient en éliminant toutes les dérivées secondes sont vérifiées. Or les équations précédentes sont au nombre de {n — 1)2 ; en les difi'érentiant, on en déduira n[n — i)^ équations. Si l'on retrancbe de ce nombre celui

[n(n-i-i) "I, , f/î — 0-(rt -4- 2) ^ 'J(n-0= ^

des équations qui doivent conserver les dérivées secondes, on trouve un nombre total

d'équations qui ne contiendront plus que les dérivées premières et qui devront être vérifiées en vertu même des équations qui déterminent ces dérivées. Or nous avons déjà :

- T (n — i)(n — 2) , 1" Les équations

qu'on obtient en différentiant les équations

et en elTectuant des combinaisons qui font disparaître les dérivées secondes des fonctions r, w. Ces équations sont vérifiées puisqu'elles servent à définir les fonctions vt, Wk\

2° Les ~ ^équations (3i) qui devront être vérifiées

par la fonction u\

o" Les • — - — équations (00) qui doivent chacune être comptées pour trois, puisqu'on les obtient de trois manières différentes, chacune par la dififérenliation de trois équa-

l32 LIVRE I. — CHAPITRE VI.

lions distinctes. On a donc en tout

équations ne contenant pas les dérivées secondes des fonctions ç, w, ce qui est bien le nombre que nous devions trouver. Ainsi nos équations du troisième ordre sont à la fois nécessaires et suffisantes.

75. Avant de passer aux applications, il ne sera pas inutile de présenter quelques remarques sur les résultats précédents, de montrer comment ils donnent la généralisation du théorème de Dupin relatif aux lignes de courbure, et aussi de mettre en lumière les différences essentielles qu'ils présentent avec ceux que nous avons obtenus dans le cas de trois variables.

Etant donnée une surface représentée par l'équation

appelons normale à cette surface en un de ses points (^a;, , , . . , .r„) le lieu des points (X) , . . . , X„) définis par les équations linéaires

,„ , Xi — ^1 X2 — Xj ^ X„ — Xn

et cherchons dans quelles directions il faut se déplacer sur la surface pour que cette normale soit rencontrée par la normale infiniment voisine. Pour cela, nous désignerons par 9 la valeur commune des rapports précédents, et nous aurons à joindre aux

équations

X, — Xi = Ui G

les suivantes, obtenues par dilTérentiation — dxi = Ui <^6 -f- G dui.

Si, changeant un peu de notations, on remplace — r par \ et -r- par — ofa, les directions cherchées seront déterminées par le système d'équations (39) dui=^\ dxi-^ Uid]x (t — I. 2, . . . , 71),

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A n VARIABLES. l33

qu'on peut aussi écrire

( 4o ) 2, ^ik dxi; = X dxi -H Ui d\i..

Il suffit de comparer ces équations à celles que nous avons données plus haut (n" 70) pour reconnaître qu'on passe des unes aux autres en changeant dx^ en Vh- On a donc la proposition suivante :

Etant donnée une surf ace quelconque dans l'espace à n dimensions, elle admet n — i directions principales en chacun de ses points et elle a, par conséquent, n — i systèmes distincts de lignes de courbure. Chacune de ces directions, chacun de ces systèmes, correspond à une racine déterminée \ de V équation (20).

Si l'on désigne par û,, 82, . .. , 5„, les différentielles relatives aux différentes lignes de courbure, il suffit de répéter les remarques présentées au n° 70 pour reconnaître que les formules

(40 JKj= Zi^x^i-^ ^i^ïXi -r-. . .-h Zn-iO,i-iXi

réduisent les deux formes quadratiques

y\ ^•■•-^yh , uikyiyk

des sommes composées uniquement avec les carrés de s,, z^, . . . , Z/l^. On a donc

(4^) 7,^hXiOh'CPi=o (h^h').

En langage géométrique, cette équation exprime la propriété suivante : les lignes de courbure qui se croisent en un point de la surface s'y coupent mutuellement à angle droit.

Admettons cette définition et ces propriétés des lignes de courbure; il suffit de comparer les équations (18) et (4o) pour reconnaître immédiatement la propriété suivante :

l34 LIVRE I. — CHAPITRE VI.

Si la surface considérée appartient à l'une des familles d'un système complètement orthogonal, les surfaces appartenant aux autres familles admettent pour normales, en chaque point de la surface considérée, les directions principales de cette surface; par conséquent, prises n — 2 à n — 2, elles coupent cette surface suivant une de ses lignes de courbure.

C'est bien là une généralisation du théorème de Dupin; mais il faut prendre garde que cette généralisation apporte ici des propriétés et des conséquences nouvelles. Considérons dans l'espace à n dimensions une surface quelconque ; elle a bien, nous l'avons démontré, n — i familles de lignes de courbure déterminées par n — I systèmes distincts d'équations différentielles. Mais deux quelconques de ces systèmes n'ont pas, en général., d'intégrale commune, en dehors de u; c'est-à-dire il n'existe pas, en général, de fonction bien déterminée, différente de u, qui demeure constante à la fois sur les lignes de courbure appartenant à ces deux systèmes. Pour qu'il en fût ainsi il faudrait que, si les équations différentielles relatives à ces deux systèmes sont

dxi dxn dxx dxn

il y eût une fonction v différente de u et satisfaisant à la fois aux deux équations

dxi

c'est ce qui n'a pas toujours lieu, nous le montrerons sur un exemple particulier.

Tci, au contraire, pour toute surface faisant partie d'un système complètement orthogonal, il existera une intégrale commune non seulement à deux systèmes, mais à n — 2 systèmes quelconques de lignes de courbure; ce sera le paramètre de la famille de surf aces normales au système de lignes de courbure qui a été laissé de côté. Nous pouvons donc conclure :

Une suif ace quelconque, prise dans l'espace à n dimensions, n étant supérieur à 3, ne saurait faire partie d' un système complètement orthogonal.

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A 11 VARIABLES. l35

Pour qu'elle puisse faire partie d'un tel système, il faut qu'il existe une intégrale commune an — 2 quelconques des n — I systèmes d'équations différentielles qui déterminent les lignes de courbure.

Quand vine surface remplira la condition précédente, nous dirons que ses lignes de courbure sont coordonnées.

76. Celte condition est nécessaire ; mais il est aisé de voir qu'elle est aussi suffisante. Pour établir cette importante proposition, nous allons, en quelques mots, généraliser la théorie des surfaces parallèles.

Etant donnée une surface quelconque (S), conservons toutes les notations précédentes, et faisons correspondre à celui de ses points qui a pour coordonnées .Ti, . . . , ^^ le point nouveau (X, , . . . , X,j) défini par les formules

(43) X,= ^,+-R^" (t==i,2, ...,ft),

où R désigne une constante et où l'on a

(44) G2= Mî+...-(-«2.

Pour chaque valeur de R, on aura une surface (Sr) décrite par le point de coordonnées X/. Nous dirons que cette surface (Sr) esi parallèle à (S), et l'on reconnaîtra facilement que toutes les surfaces (S^) ont les mêmes normales que (S). Donc, d'après la définition des lignes de courbure donnée plus haut, leurs lignes de courbure correspondent, point par point, aux lignes de courbure de (H).

Supposons maintenant que les lignes de courbure de (S) soient coordonnées : il en sera évidemment de même des lignes de courbure des surfaces (Sr), qui sont définies par les mêmes équations différentielles. Soit M un point de l'espace par lequel il passera une surface (2^) parallèle à (S). Les n — i directions principales de (Sr) et la normale en M à (Sr), qui est aussi normale à (S), formeront évidemment n directions deux à deux orthogonales. Cela posé, désignons par p, par exemple, la fonction qui demeure constante sur n — 2 des lignes de courbure de la surface (Sr), choisies comme on voudra ; les points de l'espace pour lesquels cette fonc-

l36 LIVRE I. — CHAPITRE VI.

tion demeurera constante lorsque R variera formeront ce que nous appelons une surface^ c'est-à-dire un lieu (0) défini par une seule équation, et d^ ailleurs engendré par les normales à (S) en tous les points de cette surface pour lesquels p demeurera constante. D'après la remarque faite plus haut, la normale en M à ce lieu sera précisément la tangente à la ligne de courbure de (Sr) sur laquelle p varie; car cette tangente est perpendiculaire : i*^ aux n — 2 autres directions principales de (Sr) ; 2° à la normale de (Sr); et, par suite, étant orthogonale kn — i tangentes distinctes et linéairement indépendantes de (0) en M, elle sera orthogonale à toutes les courbes tracées à partir de M sur (0). On voit donc que, si l'on adjoint à la famille des surfaces (S^) les n — I familles formées des surfaces lieux des points pour lesquels les variables telles que p demeurent constantes, on aura constitué ainsi un système complètement orthogonal dont fera partie la surface (S).

Au reste, nous reviendrons au Livre suivant, Chap. I, sur cette théorie.