On verra facilement que les ^^ — ~ équations
aux dérivées partielles du second groupe (35), obtenues pour le paramètre u, expriment simplement que les surfaces de paramètre u ont chacune leurs lignes de courbure coordonnées. Ces équations peuvent, en effet, s'écrire sous la forme
ô, S', ù" désignant les différentielles relatives à trois directions principales quelconques. Or on a les relations
d'où l'on déduira, parla différentiation, les suivantes :
( 48 ) û" \^ Ui 0' ÙXi = \ 8" Ui 0' OXi H- 2, Ui 0" 0' ÙXi = o.
SYSTÈMES ORTHOGONAUX A n VARIARLES. iSj
SI l'on remarque maintenant que l'on peut écrire
Uikl OXi Ô Xk 0 Xi
on voit qu'en tenant compte des équations (47) et (48), on sera conduit à la relation
ce qui permet d'écrire l'équation (45) sous la forme nouvelle
Les 0 se rapportant à des déplacements qui s'effectuent sur la surface, et les rapports mutuels des dérivées ut ne dépendant que de la direction de la normale, on voit immédiatement que les équations (45) expriment une propriété, non de famille, mais de surface individuelle. Comme les équations du premier groupe (3i), mises sous la forme (82), sont toutes vérifiées quand on suppose que les surfaces de paramètre u soient parallèles (auquel cas on peut supposer H = 1), on voit que les équations du second groupe (35) donnent la condition nécessaire et suffisante pour que les lignes de courbure de la surface de paramètre u soient coordonnées (' ).
78. Pour donner au moins une application des résultats précédents, nous considérerons les surfaces définies par l'équation
(50) Xi + X2 + ...-f-X„=a,
u désignant une constante arbitraire etXj une fonction de la seule variable xi.
(') Si la surface ne fait pas partie d'une famille appartenant à un système complètement orthogonal, il ne sera pas nécessaire que ces équations aient lieu identiquement; il suffira évidemment qu'elles soient vérifiées en vertu de l'équation de la surface.
l38 LIVRE I. — CHAPITRE VI.
Si nous appliquons les méthodes développées dans les numéros précédents, nous verrons que les différentes lignes de courbure d'une telle surface sont déterminées par les formules
(5l) rf^,= -^^, (i=K2, ...,/l),
OÙ X sera une racine de l'équation
Appliquons la condition donnée plus haut pour que les lignes de courbure soient coordonnées; nous verrons qu'elle se réduit ici à la forme suivante
,• (jXi Û Xi h Xi = o,
5, o', o" désignant les différentielles relatives à trois directions principales quelconques; de sorte que la relation
:xo-x:;)(x.-x';)().,-x;)
devra être vérifiée par trois racines quelconques, mais distinctes, Xo, X,, I2 de l'équation (52).
Si l'on multiplie le premier membre de la relation
par l'expression
ail -+" ^^0+ c
(Xo-Xi)(Xo-X2)'
et si l'on ajoute les résultats obtenus en effectuant des permutations circulaires sur les trois indices o, 1,2, on obtiendra la relation suivante
(5^^ V X;-VaX'f + èX';-4-c)
^(Xo-x-)(X,-x';)(À2-x;;)
et l'on démontrera aisément que cette relation entre les trois ra-
SYSTÈMES ORTHOGONAUX A Tl VARIABLES. iSg
cines est la plus générale parmi celles qui sont de la forme
i--(Xo-x:-)(x,-x';)(X2-x<) ""'
0/ étant indépendante de 1^^ )v,, }.2 (')•
On devra donc pouvoir identifier terme à terme les deux relations (53) et (54), ce qui donnera, pour toutes les valeurs de «',
Les fonctions a, 6, c seront déterminées par trois quelconques de ces équations ; elles ne pourraient donc dépendre que de trois quelconques des variables a?,, ..., Xn prises au hasard ; et, par suite, des que n sera supérieur à 3, elles se réduiront nécessairement à des constantes. Ainsi les différentes fonctions X/, où l'on remplacera xi par x, devront être des solutions particulières d'une même équation différentielle
dont l'intégration ne présente d'ailleurs aucune difficulté et s'effectue par l'application des méthodes régulières de l'Analyse. Cette équation, sous sa forme la plus générale ou sous des formes particulières, se rencontrera dans les différents problèmes que nous allons maintenant étudier.
79. Proposons-nous, tout d'abord, de généraliser le problème que se sont proposé MM. Bouquet et J.-A. Serret, et de chercher tous les systèmes orthogonaux à n variables pour lesquelles une des familles sera déterminée par une équation de la forme
(58) a = Xi + X2 + ...-4-X„, X/ dépendant toujours de la seule variable xi.
(') En retranchant, en effet, de l'équation (54) l'équation (55), on obtient une relation de même forme et l'on peut disposer de a, b, c, de manière à annuler trois des nouvelles fonctions 6,.. Mais alors toutes les autres doivent s'annuler ; car sans cela il resterait une équation de degré n — 4 en T^j, qui devrait admettre toutes celles des racines de l'équation (52) qui sont différentes de \ et de \, ce qui est évidemment impossible.
