SYSTÈMES ORTHOGONAUX A H VARIABLES

J.-A. Serret, mais seulement pour le cas particulier de trois variables (*).

80. Comme il fallait s'y attendre, l'équation différentielle (6i) appartient au type défini par la formule (57).

Le cas particulier le plus intéressant, celui qui a été examiné avec le plus de détail dans l'hypothèse où le nombre des variables se réduit à trois, est celui où l'on suppose A = B = o et où l'on prend

« = m, loga^i -t- /n2 log^2-t-- • •+ "î«Ioga7„,

/«<, . . ., nin désignant des constantes quelconques.

Alors si, pour plus d'élégance, on change u en logw et A en r- , on a

l'équation (59) devient

et les équations aux différentielles totales qu'il s'agit d'intégrer sont les suivantes

XidXi XndXn ^ +...H =0,

mi tn,i

où il faut remplacer \ par chacune des racines de l'équation (63).

Cette équation ne pouvant être résolue en général, il semblerait que l'intégration des équations aux différentielles totales ne pourra être effectuée. Il y a donc quelque intérêt à effectuer cette intégration ; on y parvient comme il suit.

Intégrons comme si \ était une constante et posons

V '«1/ V '«2/ V mn

(') J.-A. Serret, Mémoire sur les sur/aces orthogonales {Journal de Liouville, 1" série, t. XII, p. 241; 1847).

nous trouverons

dv __ Xydxx x„rfx„

Vv ~ ~ ^ -+-•••-+- — ■ -j ' Ah i- Xh -

et le coefficient de d\ sera nul en vertu de V équation même qui sert à déterminer \. Nous obtenons donc le curieux théorème suivant :

Les n — I familles qui complètent, avec la fonction ?/, le système orthogonal, s'obtiennent en éliminant X entre l'équation (64) et sa dérivée par rapport à \.

Par exemple, dans le cas de trois variables, si l'on prend la famille

(65) 11=^ x'nyzP,

les deux autres familles de surfaces qu'on doit lui associer s'obtiennent en éliminant); entre l'équation

et sa dérivée par rapport à \^ c'est-à-dire en cherchant l'enveloppe des surfaces représentées par l'équation précédente quand \ varie (').

81. Mais on peut faire beaucoup d'autres applications du résultat général que nous avons trouvé. Rappelons-nous les remarques relatives aux coordonnées pentasphériques (n° 69) (2). Nous avons vu que les conditions d'orthogonalité dans ce système s'expriment comme dans le système ordinaire; .r,, x^, ..., x^ désignant les coordonnées pentasphériques d'un point^ nous considérerons encore la famille

(67) u = x'[^xlK..xl^,

mais, pour que l'équation précédente soit homogène quel que

(') Leçons sur la Théorie des surfaces (i" Partie, n" 140).

(^) Voir aussi Leçons sur la The'orie des sur/aces {i" Partie, Livre II, Chap. VI).

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A H VARIABLES. l43

soit II, nous poserons

(68) a,+ aj-f-. . .-+- a5= G.

Avec celte hypothèse, nous allons obtenir de nouveaux systèmes orthogonaux.

Les deux familles complétant le système seront les enveloppes des surfaces représentées par les équations

et il est facile de vérifier : i" que V équation déterminant \

se réduit, comme cela doit être, au second degré en vertu de la condition (68) et de la relation homogène

,-^ xi = o

entre les coordonnées ; i'' que V équation (69)^ après qu^on y a substitué à la place de X une de ses deux valeurs, devient homogène par rapport aux cinq quantités Xi.

Le nouveau système ainsi obtenu est assez général, puisqu'il contient, en dehors des exposants, les dix constantes qui figurent dans les équations de cinq sphères orthogonales. Le système le plus simple de ce genre est celui pour lequel l'équation (67) prend la forme

On verra facilement que les équations des deux familles de surfaces algébriques qui complètent ce système peuvent se mettre sous la forme

(71) arcsin-î — -. i ± arc sin

ix^ ix&

Si, par exemple, on prend pour les cinq fonctions Xi les

expressions suivantes

on aura le système triple défini parles équations xy

(72) { arcsin ; + arc sin

2R\/.r2-H^2 . 9^Ry/y2^32

arc sin — — =— — arc sin ■"--

ip2 f-j2^^2| R2 a;2,j2,^2|R2

Pour R = 00, on retrouve le système, comprenant une famille de paraboloïdes, qui a été étudié au n° 69.

82. La forme très symétrique des résultats que nous venons d'obtenir conduit à différentes généralisations que nous allons signaler.

Considérons d'abord les n fonctions des n variables x^^...,x,i obtenues en éliminantX entre l'équation

et sa dérivée par rapport à À

On aura n fonctions U\, U2, . . ., Un qui correspondront aux n racines de V équation précédente. Nous allons montrer qu^ elles forment un système orthogonal.

En effet, pour deux fonctions U\^ U2 relatives à deux racines différentes );j, X2, la condition d'orthogonalité sera

mij\ m,

SYSTEMES ORTHOGONAUX A n VARIABLES. l45

Or celle relation est vérifiée; on l'obtient en exprimant que A,, Ao sont des racines de l'équalion (74) ^t en éliminant a entre les deux équations ainsi obtenues.

Dans le cas de trois variables, ou a le théorème suivant :

Les enveloppes des surfaees représentées par V équation

où Von fait varier 1, forment an système triple orthogonal.

On voit que ce système triple jouit toujours de la propriété si remarquable de celui qui est formé avec les surfaces homofocales du second degré : les trois familles qui le composent sont représentées pa/- la même équation, et elles sont d'ailleurs formées de surfaces algébriques, lorsque les rapports mutuels de m, «,/?, q sont commensurables.

Toutefois, il y a un cas singulier qui se présente quand la

somme

est nulle. Alors on a seulement deux familles orthogonales composées de cônes ayant pour sommet commun l'origine des coordonnées. La troisième famille est évidemment formée de sphères ayant pour centre le sommet commun des cônes.

83. On peut aussi ap])]iquer la proposition générale au cas de cinq variables et en déduire, en employant les coordonnées pentasphériques, des théorèmes qui conviennent à l'espace à trois dimensions. 11 suffira de disposer des constantes de telle manière que les équations obtenues soient homogènes.

Appelons encore x^, Xo-, ..., ^ô les coordonnées pentasphériques d'un point et considérons l'équation

où les quantités mi sont cinq constantes quelconques.

Si l'on élimine X entre cette équation et sa dérivée par rapport D. 10