CHAPITRE VI

/«S me

on obtiendra une fonction u qui sera homogène et de degré zéro toutes les fois que l'on aura

mi -+- m.2 -h . . . -+- me = o.

D'ailleurs, avec cette hypothèse, l'équation (77) sera du troisième degré par rapport à \. En substituant les trois racines dans l'équation (76), on aura les paramètres de trois familles qui composeront un système triple orthogonal. Ces systèmes orthogonaux jouiront, comme les précédents, de la propriété remarquable que les trois familles seront représentées par une même équation.

84. Les propositions que nous venons d'établir s'étendent, avec les modifications convenables, aux fonctions les plus générales qui satisfont à l'équation différentielle (ô^). Pour ne pas développer outre mesure ces applications, nous établirons tout de suite le théorème le plus général.

Considérons l'équation

où la fonction X, dépend de la seule variable Xi et satisfait à l'équation différentielle

(79) X^X7=2Â:(X^-a)(Xj-6);

A désigne une constante qui peut être réunie à l'une des fonctions X/ et, par conséquent, supprimée toutes les fois que k est différent de l'unité. Multiplions le premier membre de l'équation (78) par TsÇ)\)rD^^ ^(^) étant une fonction à déterminer, et intégrons en considérant \ comme seule variable. En prenant pour X^ chacune des n racines de l'équation (78), nous aurons n fonctions u/i définies par les quadratures

^j'''r,a)\^^^^-o^ik-j)iX,-^...+ Xn)-i-A\dl,

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A Tl VARIABLES. l/jj

la limite inférieure a étant une constante dont il y aura lieu de disposer. La dérivée partielle de la fonction Uh ainsi obtenue par rapport à \h est nulle, et, par conséquent, sa dérivée relative à Xi se réduit au seul terme

En remplaçant XJ par sa valeur tirée de l'équation (^9), on trouve duk ^, r'^'Hka-a)a-h) (9.k-i)l — k(a-^h)-\ ^,.,.

5^-^^'X r a-xj)^ x-xj J-(^^^^'

Cela posé, définissons la fonction Trf(À) par l'équation

(81) /: ~ (l ~ a)(l - b)m{l) = [{^k - i)l /,-(« + 6)]nT(X),

et la constante a par la condition

TO(a)(a — «)(a — 6)

l'intégrale qui exprime -— pourra être déterminée, et l'on aura

^^^^ ^,=-''^^^ xl^^c^

Il suit de là que les /i fonctions w,, iio, ..., W/i correspondantes aux n racines A,, .... ).« de l'équation (78) forment un système orthogonal; car, pour les deux fonctions M), Uo., par exemple, la condition d'orthogonalité

est identique à celle qu'on obtient en substituant );,, ).o à la place de )v dans l'équation (78), et retranchant les deux relations ainsi obtenues.

La fonction m().) se détermine sans difficulté au moyen de Téquation dilTéi-entielle (81). On peut prendre, en général,

(8.i) nj(X) = (X — a)*^-"(X — 6)^"-^.

l48 LIVRE I. — CHAPITRE VI.

La constante a est ensuite déterminée par la condition

(a — af ''-"^ (a — bf «-a"^^

"o^xl = ^-

Si l'un des exposants du numérateur est positif, on prendra a = a ou a = b; s'ils sont négatifs tous les deux, on prendra a = ±: GO.

En résumant tout ce qui précède, nous obtenons le théorème suivant :

Considérons n fonctions X,, X2, ..., X„, qui dépendent chacune de la variable de même indice et satisfont aux équations différentielles

X'iX'- = 2k(X'-~a)(X'- — b).

Si nous appelons )., , À25 • • • 5 ^vz ^es n fonctions de x^, ^o? • • • ? Xa racines de U équation

^ ^'' 2(A--i)(Xi+X2-H... + X„)-i-A = o,

et si nous définissons n fonctions par les quadratures

un= j (X— a)^-^-"(X — è/«-6

X r^lx^x"^ -^^^'^-0(Xi+...-hX„) + A| cTk,

où a est un des trois nombres a, 6, 00, choisi par la condition indiquée plus haut, ces n fonctions forment un système orthogonal.

Si l'on a a= b, les formules précédentes sont illusoires ; mais on se reportera à l'équation différentielle qui détermine r^(\).

80. La proposition précédente admet différents cas particuliers; nous examinerons seulement l'hypothèse suivante, dans laquelle elle tombe en défaut et devient incomplète.

Supposons que l'on ait

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A 71 VARIABLES. l49

Alors l'équation en "k (78) se réduisant au degré n — i, on n'a plus que n — i fonctions Uk orthogonales. Mais on reconnaît aisément, d'après l'expression (83) donnée plus haut de la dérivée

T-^ que le système de ces n — i fonctions peut être complété par

l'adjonction de la fonction

(85) M = X1-+-X2 + ...-+- X„, ce qui permet d'énoncer le théorème suivant :

On a vu que la condition nécessaire et suffisante pour que

la fonction

i« = Xi-i-X,-(-...+ X„

fasse partie d' un système complètement orthogonal est que les fonctions X/ vérifient une équation de la forme

oii a, et b désignent deux constantes quelconques. Pour déterminer les n — I fonctions qui complètent le système orthogonal, on formera l'équation suivante en \ :

les n — I fonctions cherchées seront déterminée^ par les formules

où "k/i désigne une des n — i racines de V équation précédente et oîi a désigne l'un des nombres a, 6, choisi par la condition que l' intégrale précédente ait un sens.

Dans le cas de n = 3, on obtient ainsi les sj'stèmes dont J.-A. Serret avait seulement établi l'existence dans le Mémoire cité plus haut (p. i40j ^^ ^'^" démontre de plus que les lignes de courbure des surfaces dont il se compose s'obtiennent par de simples quadratures.