Revenons au théorème général, et supposons A' quelconque

l5o LIVRE I. — CHAPITRE VI.

et différenl de l'unité. On reconnaîtra aisément que, en employant le langage de la Géométrie, une des familles dont il se compose comprend la surface

dont il est possible, par conséquent, de déterminer les lignes de courbure. On est ainsi conduit, en supposant A = o, au théorème suivant, qu'il sera facile d'ailleurs de vérifier directement (').

Les lignes de courbure de la surface définie par l'équation

où X,, Xo, . .., X« satisfont aux équations différentielles

(88) X-Xj = ik{X\— a)(X';— 6),

se déterminent de la manière suivante. On recherchera les n — I fonctions \h racines de l'équation

puis, déterminant une fonction rsÇk) par l'équation

90) /<:tu'(X)(X — a)(X — 6) = — Xct(X),

et une constante ^ par la condition

(91) TTT(a)(a-a)(a-6)^^^

on calculera les n — i fonctions

une seule d'entre elles demeurera variable sur chacune des lignes de courbure cherchées ; et, par suite, on obtiendra toutes ces lignes en égalant à des constantes arbitraires n — 2 quelconques des fonctions précédentes.

( ' ) Voir, pour plus de détails, le Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes, cite plus haut, p. m.

SYSTÈMES ORTHOGONAUX \ n VARIABLES. l5l

Ce cas est le seul, nous l'avons vu (n° 77), dans lequel les lignes de courbure des surfaces représentées par l'équation (5o) soient coordonnées.

87. Indiquons quelques applications du théorème précédent, relatives à trois variables x, y^ z. Nous supposerons d'abord que les constantes a el b soient nulles, c'est-à-dire que l'équation (88) se réduise à la forme simple