X'X"'=2/CX

L'hypothèse k=i a été examinée. Si on l'écarté et si l'on suppose 2 A- — 1 ^o, l'intégrale de l'équation précédente sera

a, [3, Xq étant trois constantes, et ni étant déterminé par l'équation

2 — ik m — 2 ,

L'hypothèse 2^-=: i nous donnerait (')

X = a + p eY^.

En la laissant de côté, on pourra revenir à la formule (gS) et supposer Xq -=■ o. La surface correspondante sera représentée par une équation de la forme

«, b, c étant trois constantes et m étant quelconque positif ou négatif, entier ou fractionnaire. On sait que Lamé (2), dans son opuscule sur les méthodes en Géométrie, a, le premier, étudié ces surfaces auxquelles M. de la Gournerie, qui en a fait connaître diverses propriétés, a donné le nom de tétraédiales symétriques. On peut prendre ici

in(X)= X'«-2 ,

(') Dans l'un et l'autre cas, nous négligeons l'intégrale linéaire X=:a-f-pa: qui correspond à l'hypollièse X"= o.

(^) Lamé, Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de Géométrie. Paris, Bachelier; 1818.

l52 LIVRE I. — CHAPITRE vî.

et si, pour plus d'élégance, on change A en ' , on aura, en

faisant entrer dans u un facteur constant,

\ ^'n-ia^A ^

b'" ( ,a — 6'«^2-/«) c'»([JL — C'^z

Chaque ligne de courbure s'obtiendra en donnant à u une valeur constante et éliminant [j. entre l'équation précédente et sa dérivée

'r-m '\rm Tin

La constante a pourra être prise égale à zéro si m n'est pascompris entre i et 2 ; elle pourra être prise égale à 00 si m est compris entre o et 1.

Les équations des lignes de courbure contiendront toujours des logarithmes et une partie algébrique.

Par exemple, pour la surface

on aura, en effectuant les intégrations,