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et il j aura à éliminer jj. entre cette équation et sa dérivée par rapport à [x. Cette dérivée est algébrique.
Quoi qu'il en soit, on voit que nous saurons déterminer les lignes de courbure de deux surfaces du troisième ordre, l'une représentée par l'équation (97), l'autre par la suivante
abc
Cette dernière surface est la transformée homographique de la surface la plus générale à quatre points doubles.
SYSTÈMES ORTHOGONAUX An VARIABLES. l53
On saura de même déterminer les lignes de courbure de deux surfaces du quatrième ordre dont les équations seront
(lOO)
La seconde est la transformée homographique de la surface de Steiner la plus générale.
88. Pour étendre un peu ces applications, on peut remarquer qu'il est permis d'ajouter des termes aux équations déjà données et de traiter les surfaces représentées par l'équation plus générale
(ici) ax'"-\- by'"^^ cz'"--\- ol{x^ -{- y^ -\- z'^) = C,
OÙ a, b, c, a, G désignent des constantes quelconques. Cette remarque, que le lecteur vérifiera aisément, nous permet d'ajouter aux surfaces du troisième et du quatrième ordre déjà données, celles qui sont représentées par les équations suivantes
a^r^-r- by^-T- cz^-i- ^.(x^ -{- y--\- z-)= C,
ax'*-+- by'*-T- cz'*-+- (x{x^ + y^-^ z'^)= G.
Au reste, on peut trouver toutes les surfaces auxquelles s'applique le théorème du n° 85 et déterminer l'intégrale générale de l'équation
(102) X'X"'=^ik(X"—a){X''—b).
Cette intégrale sera donnée par les formules
1 X' = C (X"— afi^^/'^iX"— bf/^^^i, (io3) { ^= -ri Ax"— a)2^("-6)~\x"— 6)2*(^-'')~'^X"
kib-.i) dX!'
o\x figurent des quadratures que l'on peut effectuer dans un grand nombre de cas.
89. On peut se demander si les surfaces du troisième ordre dont nous avons appris à déterminer les lignes de courbure sont les transformées homographiques de la surface la plus générale de cet ordre. Il est aisé de répondre à cette question.
L'équation
(io4) aa^s-i- 6j3-i-c^s-+- oi{x'^-h y^-T- z^)+ ^ = o
peut toujours, par une simple translation des axes, être ramenée à la forme
(io5) ax^-\- by^-h cz^-h xx -h ^y -\-^z -+-^ — o,
ou, si l'on rend l'équation homogène,
ax^-h by^-+- cz^-+- t^{a.x -\- ^y -{-^^z -+- ot)= o.
Cette équation montre que les plans tangents menés de l'origine à la surface sont tangents à deux cônes cubiques, dont l'un a pour équation
ax^-^- by^+ cz^ ^= o.
L'origine est donc un des dix points doubles de la liessienne, et la seule particularité que présente la surface est la suivante : l'un des cônes, celui qui est représenté par l'équation précédente, est un cône triangulaire. Dans la surface générale, l'équation de ce cône ne pourrait être ramenée par un choix convenable des axes qu'à la forme suivante
ax"^-^ by^-v- cz^-\- 3hxyz = o.
Ici ^ = o ; nous avons donc le théorème suivant :
Toute surface du troisième ordre pour laquelle l'un des vingt cônes qui sont circonscrits à la surface suivant une section plane est un cône triangulaire peut être transformée homo graphique ment en une autre dont on détermine les lignes de courbure.
90. Je terminerai ce Chapitre en remarquant que, tout ce qui précède s'appliquant à un nombre quelconque de variables, on pourra employer les coordonnées pentasphériques, pourvu que les équations soient homogènes. On saura donc déterminer les lignes
SYSTÈMES ORTHOGONAUX A n VARIABLES. 133
de courbure des surfaces représentées dans ce système de coordonnées par l'équation
(io6) ax'^-\-bxf-hcxf-^dx';^^ exf = o,
où 7)1 est quelconque, ainsi que les constantes a, b, c, d, e. Si l'on ramène par une inversion trois des sphères coordonnées à des plans, l'équation précédente deviendra
/ 3^2 -t- y2 -4- ^2 \ m aX'n-+- by"^-+-CZ"^ + Ctl\ rr^ — '
Pour R = 00 on peut obtenir comme cas limite les surfaces représentées par l'équation (loi).
