CHAPITRE I

SYSTÈAIES ORTHOGOJVAUX A 11 VARIABLES.

On se propose de faire connaître les formules que Lamé a données dans ses Leçons sur les coordonnées curvilignes en appliquant et étendant sa méthode aux systèmes complètement orthogonaux à n variables. — Définition des éléments d'une substitution linéaire orthogonale par les formules xf = H-r^. —

Relations différentielles auxquelles ils donnent lieu. — Introduction de grandeurs nouvelles p,j qui doivent vérifier deux systèmes différents d'équations aux dérivées partielles du premier ordre. — Indication sur la méthode de recherche d'un système orthogonal. — Généralisation d'un théorème de M. Combescure : « A tout système orthogonal on peut en rattacher une infinité d'autres qui dépendent de n fonctions arbitraires d'une variable ». — Application de la méthode générale de recherche à la solution d'un problème fondamental : résolution la plus générale de l'équation

dx\ H- . . . + dx% = — ( rfp^ -i- . . . + rfp/^i ).

Cette solution est toute semblable à celle qui est connue depuis longtemps pour le cas de trois variables, et elle est fournie par une inversion généralisée, suivie ou précédée d'un déplacement. — Cas spécial signalé par M. Cremona. — Indication de différentes méthodes qui permettent de faire dériver de tout système orthogonal à n variables d'autres systèmes orthogonaux contenant le même nombre ou un moindre nombre de variables. — C'est ainsi qu'au systènje des coordonnées elliptiques on peut faire correspondre une suite illimitée de systèmes orthogonaux algébriques. — Théorème de Géométrie qui donne une généralisation de la notion, due à Gauss, de représentation sphérique. — Application des résultats précédents à la recherche des surfaces de l'espace à n dimensions dont les lignes de courbure sont coordonnées. — Cette recherche exige en premier lieu la détermination de tous les systèmes complètement orthogonaux dans un espace à n — i dimensions. -- Cette détermination une fois effectuée, des méthodes analogues à celles que l'on suit dans la recherche des surfaces ayant un<^ représentation sphérique donnée permettent d'achever la solution d,u problème. — Quelques propriétés des lignes de courbure des surfaces. — Équ itions d'Olinde Rodrigucs. — Généralisation de la théorie des systèmes cycliques et son extension à l'espace à n dimensions.

l58 LIVRE II. — CHAPITRE I.

91 . Après avoir exposé dans le Livre précédenl les principaux travaux relatifs à l'équalion aux dérivées partielles du troisième ordre dont dépend le problème des systèmes triples orthogonaux, nous allons étudier la méthode que Lamé a fait connaître, dans les Leçons sur les coordonnées curvilignes, pour la recherche et l'étude des systèmes orthogonaux, ainsi que pour l'emploi des coordonnées curvilignes qui se rattachent à chacun de ces systèmes. Nous nous proposons de reprendre d'abord toute cette recherche en l'étendant au cas de n variables et en étudiant d'une manière plus complète les propriétés et la signification géométrique de chaque groupe d'équations. Les résultats que nous allons donner ont été déjà exposés en partie dans deux Mémoires publiés en 1866 et 1878 (').

Considérons n fonctions p,, po, ..., p„ de n variables^,, x-^i ••-■, Xni formant un système complètement orthogonal, c'est-à-dire

telles que l'on ait les — équations

(i) , Op,.p/,= o {i^k).

Introduisons les quantités H/ définies par la formule générale

les n- quantités H/ -~ formeront les coefficients d'une substitution

linéaire orthogonale.

Si l'on pose en effet

les relations précédentes pourront se mettre respectivement sous la forme suivante

(5) xlxi-t-x,^xi.+...+ x?x;:=o,

qui met en évidence la propriété annoncée.

(') Sur les surfaces orthogonales {Annales de l'École Normale, i" série, t. III, p. 97; 1866). Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux {Annales de l'École Normale^ 2= série, t. VII, p. ioi-i5o,

SYSTÈMES ORTHOGONAUX Art. VARIABLES. \5g

Il suit de là que si l'on considère les équations qui donnent les diflerenlielles totales des fonctions p^,

ces équations pourront être résolues dune manière élégante par rapport à dx^^ ..., dxn- Car si l'on exprime les dérivées des fonctions Ok à l'aide des variables Xj, elles prennent la forme suivante

( 6 ) \\k dpu = X 1. t/;r 1 -+- X|. dx^^...^ X'I dxn ;

d'où l'on déduit immédiatement, par les propriétés des substitutions orthogonales,

(7) dx;,= Xfni^pi+X^H2^p2-r-...+ X,'^H„rfp«.

D'ailleurs, si l'on suppose la variable x/t exprimée en fonction de Oi, p2, ..., p„, on a évidemment

En comparant ces deux expressions différentes de dx^, on est immédiatement conduit aux équations bien connues de Lamé

qui, comparées à l'équation de définition (3), donnent

. . I àx/,. dpi

^i dpi dx/c

A ces relations on peut ajouter les suivantes, qui sont une simple conséquence des propriétés connues des substitutions orthogonales,