II) (X'J2^...+ (X

{vx) x';xt+...+xix^-o,

(i3) dx\-^dxl-^...+ dxl= }l\dp\+nldpl-^...+ Yildpl.

Adoptant toutes les notations de Lamé, nous conviendrons de

l6o LIVRE II. — CHAPITRE I.

désigner par u l'une quelconque des variables ;r,, ..., ^«, et de poser, quand on la considérera seule,

Les sommes désignées par la lettre S seront obtenues en remplaçant u successivement par x^ , x-^j .. ., x„. Dans le cas de trois variables, U,, Uo, U3 sont les cosinus des angles que font les normales aux trois surfaces coordonnées avec l'axe des u. On a, dans tous les cas,

(i5) U^-hU^-4-...^Uf,= i.

92. De la formule (10) il résulte que l'opération désignée par le symbole 8p. et définie par la formule

dv dpi dv dpi

peut aussi s'écrire

P' dx^ dxi ' ' ' dx,i dxr.

ç> \ f dv dxi dv dxr

^ H? \dxi dpi dxn dpi

c'est-à-dire, en supposant ç exprimée en fonction des coordonnées p/,

. j àv

^•^^ '^^^''^Hfôpi

Par exemple, si l'on différentie, par rapport à u, la relation

Opnp/,.'= o,

on aura, nous l'avons vu (n° 9),

En tenant compte de la formule (17), cette dernière relation

deviendra

I d /àp/,'\ I â [dpk

H| dpk \du / ' H|- c^p/t' \duj °' OU, en remplaçant j^, -~ par leurs expressions tirées de la for-

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A rt VARIABLES. l6l

mule (i4)j

c'esl-à-dire

àp/,' dp,,. dpk' àp,,

Cela posé, reprenons la formule (7), qui peut servir de définition aux U/,

(19) du = HiUiû?pt-t- H2U2<^?2+-- • --H H„U„c?p„,

et écrivons les conditions d'inlégrabilité. On devra avoir

(20) -^ = ±(ii,.v,o= ^(Ha-Ua);

opA-opk' dp A- dpi'

ce qui donnera

dpk' dp/, dp,,' dp,,

Il suftil de comparer cette formule à la précédente (18) pour en déduire les relations bien plus simples, qui sont contenues dans le Ivpe suivant

Ha- dp,, U/,' dpk'

et tiennent lieu à la fois des relations (18) et (21).

Si, au lieu de garder comme Lamé les fonctions Hy;, nous introduisons les variables auxiliaires ^//f définies par la double relation

(23) p,7=o, p,A=j^-J^^ {i^k), on voit que l'on aura

(24) ^=U/,-pA-A-, {k-^l^).

La formule précédente ne nous donne pas toutes les dérivées des fonctions U/. Nous aurons celles qui nous manquent en dilférentiant, par rapport à p;t, la relation

l62 LIVRE II. — CHAPITRE I.

ce qui nous donnera

(26) ^-^p„u,-P2AU2-...-P«;tU„.

Ainsi, les formules (24) et (26) font connaître toutes les dérivées des fonctions U/f.

93. Ce point étant obtenu, nous aurons des relations entre les fonctions ^/a en exprimant que les différentes valeurs obtenues pour une même dérivée seconde de U/f sont égales. On aura, par exemple, en supposant k' et k' différents de k,

Cette équation doit avoir lieu pour n systèmes différents de valeurs des U^; il faut donc qu'elle soit vérifiée identiquement, ce qui donne deux relations comprises dans le type suivant

(.7) ^ = PA./."M', {k^k'^k").

Cherchons de même les deux valeurs que l'on peut obtenir pour '" et égalons-les; on trouvera, en tenant compte des relations

précédentes,

ce qui donne le nouveau système de relations aux dérivées partielles entre les ^/^

Opk (^pk'

Les quantités <^ik doivent donc satisfaire aux deux groupes bien distincts de relations (27) et (28). Puis les U/ seront déterminés par les équations

( f^ = hk'Vk; (.9) \^'' (^ = i,.,3,...,n),

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A 11 VARIABLES. l63

qui seront évidemment compatibles et formeront un système complet si les relations (27), (28) sont toutes vérifiées.

94. D'après cela, supposons que l'on ait trouvé des fonctions j^u' satisfaisant au système des équations aux dérivées partielles (27), (28). Nous allons voir qu'on pourra toujours en déduire une infinité de .systèmes orthogonaux. En effet, les conditions d'intégrabilité étant vérifiées, le système (29) déterminera les fonctions Uj et il est facile de voir avec quel degré de généralité. Les valeurs initiales seules de ces fonctions pourront être choisies arbitrairement, puisque les équations (29) déterminent toutes leurs dérivées premières.

D'autre part, il résulte de ces équations mêmes que si l'on a trouvé deux systèmes différents U/ et V,- de solutions de ces équations, la somme

demeure constante. On vérifie ce point essentiel en prenant la dérivée de la somme précédente par rapport à p^ par exemple, et en

substituant les valeurs de -r— ' ? -rj-S •••' déduites des équations (29);

on obtiendra ainsi un résultat qui sera toujours nul. Cette remarque s'appliquant évidemment au cas où les deux systèmes coïncident, on aura

UiVi-f-. .-+- U„V„= const., Ui-l-...^- Ml =const., Vf + . . .-+- \l = const.

Admettons cette propriété : nous avons à obtenir n systèmes différents de valeurs pour les U/, et ces n systèmes différents doivent nous fournir les n coefficients d'une substitution linéaire orthogonale. D'après la propriété précédente, il suffira que les valeurs initiales de ces fonctions, c'est-à-dire les valeurs qu'elles prennent lorsqu'on donne à p,, po, ..., ^n des valeurs constantes choisies comme on voudra, vérifient des relations telles que les suivantes :

U?-4-...-- \}l = r, UiVi-f-...4-U„V„ = o;

l64 LIVRE II. — CHAPITRE I.

c'est-à-dire soient elles-mêmes les coefficients d'une substitution linéaire orthogonale.

Il n'y a donc au fond qu'un système de solutions pour les n^ fonctions U/; tous les autres s'en déduiront par des transformations linéaires orthogonales à coefficients constants qui transformeront en elle-même la forme quadratique

et qui équivaudront à des changements d'axes coordonnés dans le cas où n sera égal à 3.

Il n'en est pas de même pour les équations (28)

qui déterminent les H, quand les S/yt sont connus. A la vérité, ces équations sont compatibles; elles forment aussi un système complet en \ertu des relations (27). Mais elles ne déterminent pas

les dérivées -r — ; et différentiées, elles ne donneront pas non plus

les dérivées d'ordre supérieur — -^r^- Elles admettront donc une

solution qui contiendra n fonctions arbitraires d'une variable indépendante. Il sera possible de choisir arbitrairement la l'onction de p/( à laquelle se réduit Ha, quand toutes les variables p/, autres que p/f, prennent des valeurs constantes.

Il suit de là que, si l'on connaît un système orthogonal, on pourra d'abord former les valeurs des fonctions [3/a, qui satisferont nécessairement aux équations (27), (28). Si, prenant ensuite ces quantités [3,^ comme connues et données, on veut en déduire tous les systèmes qui y correspondent, les U/, à la vérité, seront complètement déterminés, ils seront les mêmes que pour le système proposé (en négligeant une substitution linéaire orthogonale à coefficients constants) ; mais les fonctions H/ pourront recevoir de nouvelles valeurs qui dépendront de n fonctions arbitraires d'une variable. Celte remarque a déjà été faite, pour le cas de /i = 3, par M. Combescure (' ).

( ' ) E. CoMBESCURE, Suv les déterminants fonctionnels et les coordonnées curvilignes {Annales de l'École Normale, i" série, t. IV, p. 98; 1867).

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A n VARIABLES. l65

Dans le cas de trois variables, l'inlerprétation géométrique est bien simple : si l'on considère l'un quelconque des systèmes orthogonaux ainsi déduits du proposé, les surfaces qui le composent correspondent une à une à celles du système proposé, les normales aux trois surfaces de chaque système aux points correspondants sont parallèles; par suite, les surfaces correspondantes auront une même représentation sphérique de leurs lignes de courbure. Nous reviendrons plus loin sur ces propriétés.

95. On le voit, dans notre méthode, on peut faire reposer la recherche d'un système orthogonal sur trois opérations distinctes : d'abord l'intégration des équations aux fonctions ,3/;tj P"is celle du système aux fonctions H/, enfin celle du système qui détermine les U/. Cela fait, l'intégration des expressions

du= HiU,<^p,^-...+ H„U„rfp„

donnera les fonctions .r,, .To, . . • , Xn-, et la solution du problème sera achevée.

Nous avons dit que Lamé n'employait pas les fonctions j3/^; on peut, en effet, remplacer ces fonctions par leurs expressions à l'aide des H^, expressions qui leur servent de définition. Il est facile de voir qu'alors les deux équations

se réduisent à une seule, qui est de la forme suivante

à^Uk" I dUk dHk" 1 àllk' dUk"

dpkàpk' iik àpk' àpk llk' <J?/c àpk'

On a ainsi équations du second ordre que

doivent vérifier les n fonctions H;^. Il faudra leur ajouter les

— ^ ■- équations qu'on obtient en remplaçant les '^ik par leurs

valeurs dans le système (28), c'est-à dire les suivantes

d [ I t)HA.A d 1 I d\\k\ V' > à^kà^k

dpk\\ik àpk ) àp

iGG LIVRE II. — CHAPITRE I.

la sommation relative à i s' étendant à tous les indices, sauf k etk'.

Il y a aussi quelquefois avantage à former les équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont les fonctions Xi^x.^-, • • • , Xni lorsque les H/ sont donnés. Il suffit, pour les obtenir, de substituer dans les équations (29) aux (3/a et aux U, leurs expressions (28) et (i4)- On obtient ainsi les relations

d-^u L ^ ^ L ^Mi: A}L -

dpkdp/,' E/, dpk' àp,, H/c' dp/c àpk-~^' .oqx d ( \ du\ ^ i d}\,, du

^^ ôfM^.Ô^J-^ZàWf 'd^ dpc -^'

la sommation relative à i s'étendant à tous les indices sauf A". Mentionnons encore l'équation

simple conséquence des équations (i4) et (i5).

96. Pour montrer, au moins par un exemple, la marche des calculs, traitons le cas où l'on veut que toutes les quantités H/ soient égales et posons

(36) dx]-h...-hdxl^- j-(dpl-^...+ dpl).

La solution complète de cette équation nous donnera évidemment toutes les transformations de l'espace à n dimensions qui s'effectuent avec conservation des angles ou similitude des éléments infinim,ent petits. On connaît déjà une solution particulière de ce problème, celle qui est fondée sur les formules généralisées de la transformation par rajons vecteurs réciproques. Nous allons montrer qu'il n'y en aura pas d'autre.

On aura ici / 5 \ o \ dh

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A n VARIABLES. 167

el les équations (27) nous donneront d'abord

ce qui exige que /* soit de la forme

h = ri + ro-h. . .-¥- r,t,

/•/ dépendant de la seule variable p<. En substituant les valeurs des [3|/t dans le groupe (28), on trouve

Le second membre étant toujours le même, il faut donc que toutes les dérivées -—y soient égales, ce qui donne

/■',' = ri = . . . = r",i — ia, a ne pouvant être qu'une constante. On aura, par suite,

b et les ai étant de nouvelles constantes. En exprimant que la relation (38) est vérifiée, on obtient

(4o) af -+-... :- a\ = ab,

unique relation à laquelle doivent satisfaire a, b et les «/.

Examinons d'abord le cas 011 toutes les constantes sont nulles, sauf b que l'on prendra égal à l'unité. Alors toutes les fonctions ^/a sont nulles, les quantités H/ et U/ sont constantes. Ainsi la solution la plus générale de l'équation

dxl-h...-^dxl = dp\-h...-^dpl

s'obtient en prenant pour les Xi des fonctions linéaires des o/.

Il suit de là, comme nous l'avions déjà établi, que si deux systèmes orthogonaux donnent la même expression pour l'élément

linéaire

dx^-h. . .4- dxft,

ils ne diffèrent pas essentiellement; on passe de l'un à l'autre par

l68 LIVRE II. — CHAPITRE I.

une substitution orthogonale à coefficients constants ou, pour le cas de « = 3, par un changement d'axes coordonnés.

Cette remarque peut, dès à présent, recevoir son application et nous dispense des calculs relatifs à l'expression la plus générale de h. Nous savons en effet que l'on a une solution de l'équation (36) où l'on a substitué la valeur (Sg) de h en prenant

a, an

Pl-i P«H

(40) Xy

On obtiendra donc la solution la plus générale en employant ces formules après avoir effectué, sur les variables xi ou sur les variables p^, une substitution linéaire orthogonale à coefficients constants. En particulier, dans le cas de /i = 3, on obtient la solution la plus générale de l'équation (36), en effectuant une inversion ou une transformation homothétique et en la faisant suivre, s'il y a lieu, d'un déplacement.

97. Il y a un cas particulier de la transformation précédente que l'on néglige d'habitude, parce qu'il ne peut se rapporter qu'à des points imaginaires, mais dont il nous paraît bon de dire quelques mots; c'est celui où a est nul sans qu'il en soit de même de toutes les constantes a^, ..., «„.

Alors h a pour expression

(40 A = aipi+ «apa-H. . .+ a/ip/t+ ^',

avec la condition

(4^) af -I-. . . -t- afj = o.

Cette dernière relation exige que l'une au moins des constantes soit imaginaire. M. Cremona a, le premier, attiré l'attention sur ce cas spécial de l'inversion, qui se présente lorsque le pôle de l'inversion va se placer sur le cercle de l'infini. Les formules qui s'y rapportent ne se déduisent pas immédiatement de celles qui sont relatives au cas général, mais on les trouve sans difficulté.

D'abord on peut, à l'aide d'une substitution linéaire orthogonale effectuée sur les p,-, réduire h à la forme

(43) A = pi+ip2;

PÎ+-