SYSTÈMES ORTHOGONAUX A 1% VARIABLES

on pourra prendre alors

\ in

98. Les résultats précédents donnent lieu à une remarque dont nous aurons à faire l'application. Supposons que, considérant le cas de /i = 3, on ait trouvé un système orthogonal pour lequel on ait

ds'- = dx^- H- dy^' -4- dz'- = H^ dp^ -i- II ] dp\ + II| do\,

et que l'on cherche s'il en existe un autre, pour lequel l'élément linéaire sera donné par la formule

dx"'+dy^^dz''-=ds''-^ ^^^ds^= -i-(H2^p2^Hïû?pf + II2VPI).

La valeur la plus générale de M sera, d'après ce qui précède,

a, 6, c, m désignant des constantes, ou encore

M = m{x^ + y^ -\- ^2) -I- lax -)- iby + 'xcz -1- /n',

avec la condition

99. En dehors de leurs applications à la Physique mathématique et à la Mécanique, les systèmes orthogonaux à n variables peuvent servir à la recherche des systèmes orthogonaux à trois variables. Nous développerons d'abord une première méthode fondée sur la généralisation de la représentation sphérique (').

Reprenons les formules qui donnent les dérivées des fonctions U. On en déduit que l'on a

(45) c?U/. = -(!3i/,Ui+ P2/IU2 + -.-+ ?«/.U„)^p/.-+-2^/''^'U^'^P*''

(') Sur une nouvelle série de systèmes orthogonaux algébriques {Comptes rendus, t. LXIX, p. 892; 1869).

OU, en supposanl p/f constant,

(46) rfU/.=:2pA7/U/,.«'p,.'.

Remplaçons dans cette formule U/t par X], X|, ..., X^' et faisons la somme des carrés; nous aurons, en tenant compte des relations d'orthoffonalité,

(47) (dXl)^-^(dXi)^ + ...+ {dXl)^ = ^^,.

do]

Cette équation exprime que les n fonctions X^, . . ., X^', considérées comme dépendantes des n — i variables p), p^, . . ., Pa(, ^k+\i • ■ -, ^n, forment un système orthogonal. Il est vrai que ces fonctions sont en nombre trop grand d'une unité et qu'elles sont liées par la relation

(48) (Xj!.)2 + ...-+-(X2)2 = ,.

Mais il est facile de ramener ce système au type ordinaire. Pour nous rendre compte de l'opération analytique que nous allons exécuter, voyons quelle est la signification des résultats précédents pour le cas de n = 3,

Alors, les quantités X{, X|, X| ou, avec les notations habituelles, Xa, Y/i, Za sont les cosinus-directeurs de la normale à la surface de paramètre p;^, c'est-à-dire les coordonnées du point de la sphère qui sert de représentation sphérique au point correspondant de la surface. Notre résultat équivaut alors à cette proposition bien connue que les représentations sphériques des lignes de courbure de chaque surface forment un système orthogonal. De ce système sphérique on peut déduire, par inversion, un système plan orthogonal, et l'on a ainsi, d'un système orthogonal à trois variables, déduit un système orthogonal à deux variables seulement. C'est une opération analogue que nous allons exécuter avec un nombre quelconque de variables.

A cet effet, effectuons la substitution définie par les formules suivantes :

V 1 V 2 -yn-t

-xt •"- i-Xt *"' T-X.?

SVSTÈMES ORTHOGONAUX A 11 VARIABLES. I7r

En tenant compte de la relation (48), nous trouverons d'une manière générale

(5o) dy\-^dyl^...+ dyl^ = \ [(^Xl.)^+ (^X|)^+...+ (^X^-)^]. K^ — ^k)'

L'emploi de l'équation (47) nous permet ici d'écrire la formule particulière

où le second membre est privé du terme en doi. Nous obtenons ainsi un système orthogonal ordinaire; car les fonctions y,, ..., y,i-i, au nombre de n — i, dépendent du même nombre de variables p), .,., pA o p/^+i, ••., p/i et ne sont liées par aucune relation; les formules (9) et (49) 1^ définissent complètement. Ainsi, d'un système complètement orthogonal à n variables, nous avons déduit un autre système k n — i variables, contenant d'ailleurs une constante arbitraire, le paramètre p^.

On peut résoudre les équations (48) et (49) par rapport à Xy^, . . . , X^ et l'on aura

rr-+---- + r,i-,

Ces formules permettent de reconnaître très simplement que si l'on prend comme point de départ le système de coordonnées elliptiques à n variables, on obtiendra ainsi celui des cyclides homofocales dans l'espace k n — i dimensions.

Écrivons, en effet, les équations qui définissent le système des coordonnées elliptiques

L'une des surfaces qui le composent sera déterminée par l'équation

et l'on aura ici

(55) Xl. = X, ^'

\k étant un facteur de proportionnalité qui se déterminerait, s'il était nécessaire, à l'aide de la relation (48).

En retranchant les deux équations (53), (54) l'une de l'autre, on aura ^

2d{ai—9k){ai—^k) "' ou, en remplaçant Xt par son expression tirée de (55) en X^,

Ad"- "' at—^u

Cette dernière relation peut aussi s'écrire

(Xi)2 .

Ph pk— P/i

et si l'on y remplace les X^ par leurs valeurs déduites des formules (Sa), il viendra l'équation

4JÎ ,__ , 4.n-, «1 — Ph "'' ««-1— ?/t

««— Ph Pk — ?h

OÙ l'on pourra donner à h toutes les valeurs différentes de k.

On obtient ainsi les formules qui conviennent au système formé des cjclides homofocales dans un espace an — i dimensions. Dans cet espace, les variables proportionnelles aux quantités

271, ..., 2yn-l, I—Ji—---— 7/1-1, ''(i+J^i + ---+r,!-i)

forment un système de coordonnées tout semblable à celui des coordonnées pentasphériques dans l'espace à trois dimensions.

On pourra transformer par inversion le nouveau système orthogonal, puis lui appliquer la même méthode qu'au précédent, et l'on obtiendra encore un nouveau système algébrique, qui sera,

SYSTÈMES ORTHOGONAUX À n VARIABLES. 178

lui aussi, à un nombre quelconque de variables. En répétant indéfiniment ces opérations, on déduira du système primitif une suite illimitée de systèmes orthogonaux algébriques, à un nombre quelconque de variables.

100. Mais on peut indiquer d'autres procédés bien plus généraux par lesquels on déduit, d'un système orthogonal donné, d'autres systèmes orthogonaux.

Considérons, dans le système proposé, p^, p^+tj • • •? p« comme des constantes, et définissons n fonctions y/ par les formules

(58) yi=Xi-^kh^\^ ku+À+i +• . .-(- A„X;' , dont le type général est

(59) jK = «4-A/,U/, + ...-i-A„U„,

et qui dépendent, par conséquent, des n variables Pi, •••, P//-1, A/,, ..., A„. Si nous différentions l'équation (09), nous aurons

dy — du-\- Aa dViu -f- . . • -h A „ d\] n + U^ rfA/j -1- . . . -i- U„ r/A,,,

et, en substituant à du^ d\J/t leurs valeurs

dy= ^ U,(H,-+A/,Pa/+ A/i+,pA+,,,• + ...+ A„p„,■)«f?^ / = 1 -f- Vu dku ^ Ua+1 ^A/,+1 4- ...-}- Urt dKn.

Remplaçons u et les U/ par les n systèmes de valeurs Xk^ X*, et faisons la somme des carrés des équations ainsi obtenues. Nous trouverons

[ dy\+...-^dyl

(60) ■ ^ ^ {Ui+ X„'^ni + . . .+ K^my dpj ^ dAl-^-. . .-+- dXl;

et, comme cette formule ne contient que les carrés des différentielles, elle montre par cela même que y,, y-2, •••; JK»? con-

sidérées comme fonctions des variables p,, p^, •■, ph-\i A^, A^^.,, .. ., Art, forment un système orthogonal.

Remarquons, d'ailleurs, que la proposition subsiste si l'on remplace les n — h-h-i variables A/ par d'autres variables p^, p^^,, . . ., p)j donnant naissance à la relation

( 6 1 ) ' dXl-^...-^ dkl = H'/f dp)} + . . . ^- H;,2 dp',} ,

qui caractérise un système orthogonal dans un espace à n — h -\- i dimensions.

Dans le cas de n = 3, la signification géométrique des systèmes ainsi obtenus est des plus simples. Le premier, celui où l'on ne prend qu'une fonction A, est formé des surfaces parallèles à l'une des surfaces du système proposé et des développables formées par leurs normales; le second, celui où l'on prend deux fonctions A, est formé des plans normaux à la courbe d'intersection de deux surfaces du système et de deux familles de développables, orthogonales à ces plans. Ces développables sont engendrées par des droites parallèles aux normales des deux surfaces du système qui se coupent suivant la courbe considérée.

101. Revenons au cas général. Les formules (58), (Sg), (6o) conviennent à un système orthogonal à n variables. Mais on peut, de bien des manières, diminuer le nombre de ces variables. Supposons, pour prendre le cas le plus simple, qu'on établisse les relations

qui déterminent A^, . . . , A« en fonction de p), . . . , p^, . La formule (6o) deviendra

k=ii-\

et elle montrera que les fonctions j^,, ..., jka-d considérées comme dépendantes de p,, Oo, ..., p^-i, forment un système orthogonal k h — i variables seulement.

Nous allons faire une application des plus simples. Supposons que, pour /i = 3, on ait constitué un système triple comprenant

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A H VARIABLES. i-]S

une famille de surfaces parallèles, on aura

(63) dx^-\-dy'--^dz-^ ^ d\^-\-{\i -^ X^ioY <22+ (H, + Apî,)* ^??,

A désignant dans cette formule la dislance à la surface (S) de paramètre 02- Si nous faisons 2 = A, ce sera prendi^e sur la normale à la surface (S) un point à égale dislance de la surface (S) et du plan des xy. Ce point sera donc le centre d'une sphère (S) tangente à la fois à (S) et au plan des xy. D'ailleurs les coordonnées du point de contact de cette sphère (S) et du plan des xy sont évidemment X, y, et l'on aura, d'après la formule (63),

(64 ) dx^- -^-dy^^iW^ A P20 )' df 4- ( H, + A ^2, )Wp^ ,

d'où résulte ce théorème :

Si Von mène des sphères tangentes à une sur/ace fixe (S) et à un plan, on établira ainsi une correspondance entre les points du plan et ceux de la surface qui sont les points de contact de la même sphère. Aux lignes de courbure de la surface correspondront sur le plan deux systèmes de lignes orthogonales.

En transformant par l'inversion, on obtient la proposition suivante :

Si l'on mène des sphères ( U) tangentes à une surface fixe (S) et à une sphère fixe (S), on établit une correspondance entre les points de la surface (S) et ceux de la sphère (S) qui sont les points de contact de la même sphère (U). Aux lignes de courbure de la surface (S) correspondent sur la sphère (S) dPAix systèmes de lignes orthogonales.

Si l'on suppose que le rayon de la sphère (S) augmente indéfiniment, on retrouve le mode ordinaire de représentation sphérique des surfaces.

La proposition que nous venons d'établir se rattache très aisément à celles par lesquelles on justifie la transformation de Ribaucour (n° 32). Nous avons vu que, si l'on mène des cercles (C) normaux à la fois à (S) et à (S), ces cercles sont orthogonaux à toute une famille de surfaces faisant partie d'un

i;6 LIVRE II. — CHAPITRE I.

système triple orlhogonaJ, famille qui comprend évidemment la sphère (S). Si M est le point où le cercle (C) est normal à (2), si M,, Mo désignent les points où il est normal à (S), il est clair que les sphères tangentes en M à (S) et passant, soit par M(, soit par Ma, seront aussi normales à (C) en ces points, et, par suite, seront tangentes à (S). Or la correspondance établie entre M et M,, par exemple, est bien telle que des courbes orthogonales de la sphère (S) correspondent aux lignes de courbure de (S). Au reste, on pourrait très aisément étendre les résultats précédents. Revenons, en effet, à l'équation générale (60). Toutes les substitutions linéaires à coefficients constants qui transformeront en elle-même la forme quadratique

dx] -f- . . . + dx}, — d\l — ... — dAf, ,

plus généralement toutes celles qui la transformeront en une autre de la forme

dy^^^, , ,^ dyl-Kldp',:'-. . .-Kld?',^

nous donneront de nouveaux systèmes orthogonaux à ii variables auxquels ou pourra appliquer les méthodes que nous venons d'exposer.

102. C'est ici le lieu d'aborder une question qui présente un vif intérêt et de montrer que la détermination des surfaces tracées dans un espace à n dimensions et pour lesquelles les lignes de courbure sont coordonnées se ramène, en première analyse, à la détermination de tous les systèmes orthogonaux dans un espace k n — I dimensions.

Soit, en effet, (S) une telle surface et désignons par c^, C2? •••? Cl les cosinus directeurs de la normale en un de ses points, c'està-dire des fondions définies par les deux relations

(65) cidxy-^. . .-^ c„dxn = o,

(66) c'i + ...+ cl =1.

En répétant le raisonnement du n° 7o, on verra que les lignes de courbure seront déterminées par des équations telles que les suivantes :

(67) dc;,-+-l dx;, = CAdiJ., (/: = i, 2, . . . , /i).