SYSTEMES ORTHOGONAUX A H VARIABLES. I

Multiplions l'équation précédente par C/c et ajoutons toutes les relations ainsi obtenues.

En tenant compte des relations (65), (66), il viendra

dix = G,

de sorte que les équations différentielles (67) se réduiront à la forme

( 68 ) dc/, -f- X dx/,- = G,

qui est une généralisation des formules d'Olinde Rodrigues ('). On déduit de là, en particulier, la conclusion suivante : Soient d el B les différentielles relatives à deux lignes de courbure différentes ; on aura les équations différentielles

( 69 ) dc/c -\- X dx/^- = 0, oc/^- -+- X' ox/c = 0.

D'autre part, pour deux déplacements quelconques s'effectuant sur la surface (S), la relation

V {dck oxA— OC/, dxk) = G

est toujours vérifiée. Si l'on remplace dans cette identité les différentielles dc/i, oc/s par leurs valeurs déduites des équations (69). il viendra

jX/,= o.

(70) {\-r)^dx^.h

Ainsi, sur une surface quelconque, deux directions principales

qui correspondent à des valeurs différentes de "k sont toujours rectangulaires. C'est un point que nous avions déjà établi (n° 7o); mais si l'on remplace djC/(, ùx^ en fonction de dc/t, ock, on aura aussi

{-^^^dc,^.c, = o.

En langage géométrique, cette nouvelle relation peut s'énoncer comme il suit : Les représentations sphériques des lignes de

(') Leçons sur la théorie des surfaces (I" Partie, n° 141).

i03. Cela posé, supposons que les lignes de courbure de la surface (S) soient coordonnées. On pourra choisir n — i fonctions p,, po, . . ., p«i telles qu'une seule d'entre elles varie sur chaque

ligne de courbure. Par suite, en remplaçant )v par-rr-» on pourra donner aux équations (68) la forme suivante :

dck

et comme les lignes de courbure ont des représentations sphériques perpendiculaires les unes aux autres, les n fonctions c,, c,,, ..., c,i de p,, P2, ..., p«( définiront un système orthogonal appartenant à la sphère de rajon i. Donc, en premier lieu, pour définir (S), il faudra trouver dans l'espace à n dimensions un système sphérique orthogonal.

Un tel système peut être obtenu (n^OO) comme l'inverse d'un système complètement orthogonal, défini dans l'espace à n — i dimensions ; de sorte que nous aurons d'abord à déterminer le système le plus général de ce genre, dans l'espace kn — i dimensions.

Supposons ce premier problème résolu; nous pourrons, par inversion, constituer, dans l'espace à n dimensions un s)'stème orthogonal tracé sur la sphère de rayon i, c'est-à-dire trouver n fonctions c^ satisfaisant à la condition

et donnant lieu à la relation

(74) dc\ -h . . . -^ dcfi = h\ dpi -i- Plus généralement, si l'on pose

(75) ^i=Cipn,

hl i dpl^.

d^{\^...^d-il=PhlA(i?\

pJiKi-i dpJi-

do)

et les fonctions y/ forment cette fois un système orthogonal complet à n dimensions. Nous pourrons donc appliquer à ce système toutes les propositions étabhes plus haut. Si nous écrivons en particulier que les fonctions y,- vérifient le système (Sa) obtenu au

SYSTKMES ORTHOGONAUX A 11 VARIABLES. 1 79

n° 9o, nous reconnaîlrons que les fondions Ck doivenl êlre des

, . • I-, 1 > 1 (n — \)\n — 1) , solutions particulières du système de w- équations aux

dérivées partielles comprises dans la formule générale

()20 1 dh,, d^ I dh^.' t)Q

'^'^ àp^Op/,' In- à?A' Op/, /u' opA- (Jpu'~ '

où A- et Â' doivent recevoir deux valeurs différentes comprises dans la suite 1,2, . . ., n — i .

Supposons donc connues les fonctions Ca- H est aisé de généraliser les principes de la théorie des enveloppes et de montrer que, lorsqvi'on connaît les cosinus directeurs de la normale à une surface, cette surface peut toujours s'obtenir en adjoignant à l'équation

(78) Cj J-i-t- C2 3"2-|-. . .-+- C„37„+ 0 =-- o,

OÙ 0 est une fonction convenablement choisie, ses dérivées

de, dc,i c)e

(70) -7 — Xi-\-...~-- — :r„-f--— =0, (A — I, 2, . . .. /t — I), ^^•" dpi, dpA- dp/, ' ^ ' ' .

par rapport à chacune des variables p^. En effet, quelle que soit la surface considérée, on peut toujours déterminer une fonction 0 par l'équation (78). Si Ton tient compte de la relation

(80) Cidxi-h. . .-h C,i dxn= o,

relative à tout déplacement effectué sur la surface, la différentiation de cette équation (78) entraîne évidemment toutes les relations (79)^ et toutes ces relations, jointes à la précédente, permettent d'obtenir ^,, ^2> • -, ^w en fonction de p,, p.,, • ■ -i p«-i •

Ce point étant admis, nous allons montrer que, pour obtenir la sur/ace cherchée (S), il sera nécessaire et suffisant de prendre pour 0 une solution quelconque des équations (77).

Dilférentions en effet l'équation (79) par rapport à p/t-, k' étant différent de k; nous aurons

d^Ci "STy dci dxi d'S

dp/, dp/,' dp/, dp/,.

Remplaçons les dérivées t — ~ — par leurs valeurs, qu'on déduira

l8o LIVRE II. — CHAPITRE 1.

de l'équation (77) dont les Ci sont des solutions particulières. En ayant égard aux équations (79), on trouvera

^dph àpy " Op^àp/c' h/, dp/c' dpjc /ia- àp^ dp/,' Rapprochons les conditions d'ortliogonalité

^ ^ ^ dp,, dpk'

des équations (72); nous verrons immédiatement que, dans la relation (,8i), le premier membre est toujours nul; il en sera donc de même du second, et, par conséquent, 6 sera bien une solution particulière du système des équations (77).

Réciproquement, supposons que 0 soit une solution particulière de ce système. La relation (81) nous donnera maintenant

V dci dxi / 1 . ii\

Ad âpk ôpk'

En rapprochant toutes les équations de ce genre pour lesquelles A" a une même valeur des relations d'orthogonalité

V^ dci dci

jLidpk dpk'

on verra que l'on a trois systèmes distincts de solutions des équations linéaires et homogènes par rapport aux inconnues z-i

V^ àci 7 -2/ -^i — = o, jU dpk'

si l'on prend

dCi dxi

Z'i=^ Ci ou S,= ^ ou Zi=

dpic dp,,.

Ces trois systèmes ne pouvant être linéairement indépendants, il faudra que l'on ait, pour toutes les valeurs de i,

dXi . de, àpk àpk

\if et lAyt étant des arbitraires. On verra, comme plus haut, que ^^ doit être nulle et l'on retrouvera ainsi la généralisation des équa-

SYSTÈMES ORTHOGONAUX A n VARIABLES. l8l

lions d'Olinde Rodrigues. Donc la surface correspondante aura ses lignes de courbure coordonnées ; et, sur chacune d'elles, une seule des quantités p/ demeurera variable, ce qui achève d'établir notre proposition.

10 i. Le système des équations aux dérivées partielles

qui admet, d'après ce que nous avons vu, les solutions particulières

X == Xi, [X = Ci,

et aussi, comme il est aisé de le vérifier,

X = S.r|, [).=■ iSciXi,

est analogue à celui que l'on rencontre dans la théorie des surfaces (*) lorsqu'on veut approfondir les propriétés des lignes de courbure et des systèmes cycliques de Ribaucour. Cette remarque conduit presque sans eflforl à la proposition suivante, qui fait connaître l'extension à un nombre quelconque de dimensions des propriétés des systèmes cycliques.

Donnons-nous, dans V espace à n dimensions, une surf ace {^) dont les lignes de courbure soient coordonnées. Si l'on désigne par Oi^ po, ..., Ph) les paramètres des lignes de courbure, les coordonnées xi d'un de ses points et les cosinus-directeurs ci de la normale en ce point satisfont à des équations de la forme

dxi , ^ dci ( i = i,i, ..., n \

()p/, dpk \k = i, 2, ..., n — \/

Si l'on a intégré d'une manière générale les équations aux dérivées partielles

(') Leçons sur la théorie des surfaces (II" Partie, n»' 481 et suiv.).

l8>. LIVRE H. — CFIAPFTRE I. — SYSTÈMES ORXnOGOXALX A 11 VARIABLES.

et que l'on résolve par rapport à p,, p2j •i ?« l^s n équations

o«> \ et u. désignent un système quelconque de solutions des équations (85), les expressions de pi, 02, ..., p^ en fonction de X|, Xo, ...; X,j définiront un système complètement orthogonal pour lequel on aura

(87) dX\+... + dXl=(^^dç>l^ 2 ( -^ ) ^'^-^P^

*"' \ dp/,/

les fonctions Ck étant celles qui sont définies par la relation

(88) rfc?+^6-| + ...+ rfc2= 2 e;i.rfp2,

et la fonction 9 étant donnée par la formule

T-(^-^-)-Tè(ê)'=»-

Si l'on convient, pour uninslant, d'appeler cercles, dans l'espace à n dimensions, les intersections d'une sphère par n — 2 plans, le système obtenu est le plus général parmi ceux pour lesquels les trajectoires orthogonales de l'une des familles sont des cercles.