CHAPITRE II
Dans ce Chapitre, on étudie les propriétés des systèmes triples orthogonaux en les rattachant à la considération du déplacement du tricdre ti-irectangle (T) formé par les normales aux trois surfaces coordonnées qui se croisent en chaque point de l'espace. — Rappel des résultats déjà obtenus dans nos Leçons relativement aux divers mouvements d'un trièdre qui dépend de plusieurs paramètres. — Équations aux dérivées partielles qui relient les rotations et les translations. — Détermination d'un trièdre dont les rotations et les translations sont données a priori. — Système linéaire dont l'intégration fait connaître les cosinus-directeurs des axes de ce trièdre. — Formules générales qui déterminent le déplacement d'un point défini par ses coordonnées relatives au trièdre mobile. — Application de cette théorie générale aux coordonnées curvilignes orthogonales; on prend pour le trièdre mobile (T) celui dont les arêtes sont les normales aux trois surfaces coordonnées. — Trois des rotations sont nulles, les autres s'expriment en fonction des coefficients H, H,, H2 de l'élément linéaire et de leurs dérivées. — Introduction des quantités jî,j. — Double système de relations différentielles auxquelles doivent satisfaire ces six fonctions. — Démonstration nouvelle du théorème de Dupin. — Expression des rayons de courbure des surfaces coordonnées. — Système linéaire déterminant les cosinus-directeurs des normales aux surfaces coordonnées lorsqu'on connaît les p,j.. — Représentation sphériquc, lignes asymptotiques de chacune de ces surfaces. — Lois de variation des six courbures principales découvertes par Lamé. — Définition du paramètre différeniiel du premier ordre AU d'une fonction quelconque U; son expression en coordonnées curvilignes; définition et expression de A(U, V). — Formule de Stokes et de C. Neumann; définition du paramètre différentiel ou invariant linéaire du second ordre; son expression en coordonnées curvilignes. — On peut rattacher l'introduction de cet invariant à l'étude de certaines propriétés des transformations ponctuelles les plus générales. — Pour toutes les transformations de ce genre, il y a en général trois éléments linéaires partant d'un point auxquels correspondent des éléments parallèles. Si l'on veut que ces ti-ois éléments linéaires forment toujours un trièdre trirectangle, il sera nécessaire et suffisant que la transformation soit définie par les formules
()U du „ cJU
OT, oy (jz
où u désigne une fonction quelconque de x, y, z. Il existe alors une équation du troisième degré faisant connaître les dilatations des éléments dont la direction n'est pas altérée, et les racines de celte équation sont des invariants. Le paramètre du second ordre de Lamé n'est autre que la somme des racines de cette équation. — Détermination des transformations de la nature précédente pour
lesquelles les éléments dont la direction n'est pas changée en chaque point de l'espace sont normaux à trois familles, qui détermineront nécessairement un système de coordonnées curvilignes triplement orthogonales. — Il y a une infinité de transformations de ce genre qui correspondent à un système triple orthogonal, donné a priori. — Leur détermination se ramène à l'intégration de trois équations linéaires aux dérivées partielles auxquelles doit satisfaire une même fonction. — On termine le Chapitre en donnant un complément à la théorie du déplacement d'un trièdre mobile. Si l'on considère le système le plus général de coordonnées curvilignes obliques, l'élément linéaire de l'espace prendra la forme
et l'on peut se proposer de trouver toutes les relations différentielles qui existent entre les quantités A,,,, relations différentielles analogues à celles que l'on doit à Lamé, pour le cas où les coordonnées sont orthogonales. — On pourrait résoudre cette question en prenant un trièdre (T) occupant une position particulière relativement aux plans tangents des surfaces coordonnées. — Il paraît plus élégant d'employer une méthode toute différente, qui repose sur la considération des différentes décompositions en carrés de la forme quadratique précédente X /, ^'it ^P; ^Pt ^^ ^"^ conduit à six équations à la fois
nécessaires et suffisantes. — Retour au trièdre mobile pour établir les équations aux dérivées partielles entre les rotations et les translations.
lOo. Dans le Chapitre précédent, nous avons établi les principales relations qui se rapportent aux systèmes orthogonaux dans un espace à n dimensions. Dans le cas de l'espace ordinaire, on peut employer une autre méthode, fondée sur la considération d'un trièdre trirectangle mobile (T) dont la position dépend de trois paramètres que nous désignerons ici, pour conserver la notation de Lamé, par les lettres p, p,, Oj, l'indice o étant supprimé toutes les fois qu'il sera seul.
Si l'on adopte les notations que nous avons déjà employées dans nos Leçons (*) pour le cas de deux variables, et si l'on désigne par ^,, r,,-, ^j, pt^ qi, 77 les trois translations et les trois rotations relatives au cas où 0/ varie seule et joue le rôle du temps, on aura trois groupes diflerents de rotations et de translations. Les formules que nous avons déjà établies nous donneront ici les
(') Leçons sur la théorie des sur/aces {l" Partie, Livre I).
LE TRIÈDRE MOBILE. l85
suivantes :
àpi dpk agi dqj^ dr,- dri,
applicables toutes les fois que i et A" prendront deux valeurs différentes dans la suite o, 1,2. Réciproquement, toutes les fois que les relations précédentes seront vérifiées, le raisonnement donné au Livre I, Chap. V, de nos Leçons montrera qu'il existe un trièdre mobile (T), et un seul, admettant les rotations et les translations données a priori. Si l'on désigne par U, U, , LJ2 les cosinus des angles que font les axes de ce trièdre avec vine droite fixe de l'espace, ces cosinus seront déterminés par les équations
de sorte que, pour avoir les cosinus des angles que font les axes du trièdre (T)avec ceux d'un trièdre fixe, il suffira de déterminer trois systèmes de solutions des équations précédentes
X, Xi, X2 '. Y, Y„ Y^:
dont les valeurs initiales, c'est-à-dire relatives à un système donné de valeurs de p, p,, po, vérifient les relations entre les neuf cosinus.
xf,
■ru
+ ^.lj,
l86 LIVRE II. — CHAPITRE II.
Puis, pour déterminer les coordonnées x' , y' ^ 3' du sommet du trièdre (T) par rapport au trièdre fixe, on aura les formules
dx'
àpi
qui feront connaître x\y, z' par des quadratures.
Tous les développements que nous avons déjà donnés (') relativement à l'intégration du système (3) subsisteront ici sans modification. En particulier, si l'on exprime U, U,, Uo en fonction de deux arbitraires en posant
a et P seront des solutions particulières des trois équations de Riccati comprises dans le type suivant :
(6) -— r= t/'^.fn-:? '—- -^ i^ i— cr2, (A- = 0,1, 2);
et les propositions que nous avons fait connaître relativement à l'intégration simultanée de deux équations de cette nature s'étendront d'elles-mêmes au système précédent de trois équations.
Ajoutons encore que, si l'on considère un point dont les coordonnées relatives au trièdre mobile soient x^y, z, les projections D^, Dj, D^ du déplacement infiniment petit de ce point sur les axes du trièdre mobile auront pour expressions
D^ = c^^ H- ^ (?, + qiz - riy)dpu
(7) \^\)y=dy-\-^{r,i+riX—piz)dpi, \y. = dz-\- ^^{li^piy - qix)dpi.
(') Leçons sur la théorie des surfaces (Livre I, Chap. VI).
LE TRIKDRE MOBILE. 187
Ces expressions sont de la forme
où l'on a
:Adp-^
X^.dpi,
Dr-
: B dp +
B,dp„
: G dp +
C,<Oi
Cidpi,
ÔX ,
:■ -+- qi
-rty,
dy
-Pi^,
àpi
et il est clair que, si l'on transportait l'origine du Irièdre (T) au point considéré, les translations i/, yi/, ^i seraient remplacées par A/, B/, C/. Ces nouvelles fonctions doivent donc satisfaire aux mêmes équations aux dérivées partielles que les translations : c'està-dire que l'on doit avoir
[ ^-^^=7.G,.-^.G,-,vB.+ /-.B„
(10) { r— = /v A/, — l'i, A/ — Pi Ga- 4- />/, G/,
j opA- ^p/
I ()G,- (JGa- p r, a a
ï)ô "^o" =/^'^/' "/'/■■ '^'~ '7'A/.-+- 7aA/.
Telle est la théorie générale du déplacement d'un Irièdre qui dépend de trois variables, théorie entièrement semblable à celle que nous avons développée pour le cas de deux variables, et qui s'appliquerait encore si le mouvement du trièdre dépendait d'un plus grand nombre de variables indépendantes. Voyons comment on peut l'appliquer à la théorie des systèmes triples orthogonaux.
108. Nous désignerons alors par p, p,, pa les paramètres des trois familles qui composent le système; et, si l'on considère les surfaces des trois familles qui se croisent en un point M de l'espace, nous prendrons le trièdre mobile dont les axes M^, My, M^ sont respectivement normaux aux surfaces de paramètres p, pi et Oj. Alors, six des neuf translations seront nulles. Si l'on fait varier, par exemple, le seul paramètre p, la trajectoire sera tan-
gente à l'axe des x du Irièdre; on pourra donc poser (il) ^ = 11, Yi = o, r = o,
en désignant par H c/p, conformément aux notations précédentes, le chemin accompli suivant la normale. On aura de même
Si l'on porte ces valeurs des translations dans le groupe (i), on aura un premier système de relations
d'où les autres se déduiront par des permutations circulaires. Les trois équations
o =/>Hi -t- g-iH, o = ^r, Ii,4- /-jH,, o = /-2n+/»H2,
déduites delà dernière, nous donnent d'abord
les autres relations nous feront connaître les valeurs des différentes rotations; et si l'on pose, conformément à une notation déjà employée,
(A) P^^-ïb^' ^'^^^'
on aura
[ /> = 0, q =^20, '• = — Pio,
(i3) K, =-p2i, 5^1 = 0, '•, = ?oi,
( /'2 = Pl2, 5'2=— P02, ^2 = 0.
Ce système de formules nous donne la signification géométrique des quantités ^n^ qui se présentent dans notre première solution : ces quantités sont, au signe près, les six rotations du trièdre (T) qui sont différentes de zéro.
Si l'on porte les valeurs des rotations dans les formules (2), on
ol)tiendra les neuf relations suivantes :
(B) { -j^" =: 132,^10, -^^--- = |3oipl2,
^-.^0-2.^2,, ^^--[ii.^.o,
1 <^Pl f^?2
qui sont des cas spéciaux des formules (2^), (28) établies au Chapitre précédent.
107. Le système (^) nous permet encore d'écrire les projections du déplacement d'un point, projections qui, par application des équations (i i) et (i3), deviennent ici
l D,, = dx ^ {H ^ y ^10 -\- z^io) dp —y '^01 dpi — z<^oî dp2,
( C ) ) Dy = dy — x^iodp-i-{lii^z^.2i-+~x ^01 )dpi — z |3i2 dp,,
( D; = dz — .r^ao dp —y'^u^pi-h (H2-1- x^o^ -+-J-^n)dp2.
Ces formules permettent d'ailleurs de démontrer immédiatement le théorème de Dupin. En effet, un point de la normale à la surface de paramètre p est caractérisé par les équations
les projections de son déplacement, lorsque p, varie seule, sont
donc
-3— û?p,, (Hi + a^Sui) f/oj, o.
opi
Le plan langent en tous les points de la surface réglée décrite par la normale est donc le plan des xy'-, et, par suite, la normale engendre une surface développable, ce qui est le théorème de Dupin. Mais on voit de plus que le point où elle touche l'arête de rebrousse-
ment est défini en égalant à zéro le second déplacement, ce qui
donne
Hi
X est donc, en grandeur et en signe, le rayon de courbure principal de la surface de paramètre p, relatif à la ligne de courbure sur laquelle p, varie seule. Si donc on convient de désigner par RiA le rajon de courbure princi|)a1 pour la surface de paramètre p/ et pour V arc H/(6?p/f, on aura
Ces expressions sont bien définies en grandeur et en signe; le rayon de courbure est celle des trois coordonnées du centre de courbure correspondant qui n'est pas nulle, ces coordonnées étant relatives au Irièdre (T).
i08. Le système (3), qui établi t les relations difi'érentielles entre les cosinus-directeurs d'une droite fixe relativement au Irièdre (T), prend ici la forme
en parfait accord avec les formules déjà établies (29) (n" 93).
Si l'on prend un point fixe O de l'espace pour sommet d'un Irièdre (T') dont les axes soient parallèles à ceux du trièdrc (T), les translations de (T') seront nulles, mais ses rotations seront égales à celles du irièdre (T) ; de sorte que les projections du déplacement d'un point dont les coordonnées relatives à ce trièdre seraient *■', jk'? ^' auront pour valeurs
( D^= ^/a:^'+(y!3io-t--s'pîo)c?p— ypoiC?pj — ^'I3o2<^?2, (C) ) D|, = rf/— a7'pioO?? + (^'poi+-s'P2i)^pi --s'Pi2^p2,
( Dl =0?^' — .r'pîo^p— yp2lû?pl + (yPl2^-a7'Po2)û?P2• Par exemple, le point de la sphère de centre O et de rajon i qui
= 13//.Ux.,
LE TRIEDRE MOBILE. I91
serl de représentation à la surface de paramètre p aura pour coordonnées
Les projections de son déplacement sur les axes de l'un quelconque des deux trièdres seront
o, — p,o dp -+- Poi dpi, — jSjo dp ■+- P02 dpi.
Lorsque p demeurera constante, elles se réduiront à
(i5) o, Soi dpi, P02 dp-,.
Donc la représentation sphérique de la surface de paramètre o aura pour élément linéaire
d^^=^^l^dpl + ^l,dpl.
En général, l'élément linéaire delà représentation sphérique, pour la surface de paramètre p/, sera donné par la formule
(.6) d<Tf = ^f,dpl + ?ldpJ, (i^A-^/).
En exprimant que le déplacement défini par les formules (i5) est orthogonal à celui qui s'effectue sur la surface, on aura l'équation
difïtnentielle
Ui%,dpl-i- 11,^02 dpl = o
des lignes asjmptotiques de la surface de paramètre p ('). Celles de la surface de paramètre p/ seraient de même
d:) u.^a-dpl-^n/^itdpf^o.
Au reste, il est inutile de poursuivre ces applications; il suffit de i-emarquer que le trièdre (T) occupe, par rapport aux surfaces de paramètre Og, exactement la position que nous avons adoptée dans nos Leçons sur la théorie des sur/aces (-); toutes les formules et tous les résultats que nous avons donnés dans cet Ouvrage seront donc aj)plicables aux surfaces de paramètre poj il suffira ensuite d'effectuer des permutations circulaires, pour les rendre applicables aux surfaces de paramètre p ou de paramètre p,.
(') Leçons sur la théorie des sur/aces (l" Partie, n" 142).
(-) Leçons sur la théorie des sur/aces (II" Partie, Liv. V, Chap. II, Tableau V).
IQ'i LIVRE II. — CHAPITRE II.
109. Dans ses Leçons sur les coordonnées curvilignes, Lamé a remarqué que les équations aux dérivées partielles (B), (B') peuvent être transformées de manière à ne contenir que les rayons de courbure principaux et leurs variations quand on se déplace suivant les directions des lignes de courbure. Voici comment on peut établir ces lois de la variation des courbures.
Désignons avec Lamé par variation ou dérivée d'une fonction des trois coordonnées x^y^ z, relative à une direction donnée, le quotient de l'accroissement infiniment petit que prend la fonction, quand on se déplace suivant cette direction, par le chemin parcouru; et désignons aussi par ds, ds,, ds^ les arcs Wdo, W^d^^, Ha û?p2 que l'on décrit lorsqu'on se déplace infiniment peu sur une des lignes d'intersection. Si l'on porte les expressions des quantités [3//^, déduites des formules (A), dans les systèmes (B), (B') et si l'on remarque qu'en vertu même des formules (i4) et de la définition des p,vt, on a
on pourra remplacer toutes les dérivées des fonctions H,- par ces expressions en fonction des rayons de courbure, et l'on obtiendra ainsi les relations suivantes :
ds R02VI^12 Rio/ às
('9) { A^jiZ- L/ ' L^. A^liZ-__L /J L\
Roi \R2i R20/
àSi Rio\.R2o R21/
^ te I / I I
R12 VR02 Ro./'
)s (koi/ ^ 'is, VR,o/ R„-i
R-fo R2«R2.-
^^*^) ]À(ià)'^i(îà) ^Ri:"^Rf;""R;^^
^2 VR20/ ' às VR02/ K.% ^ R^, "^ R,oRi2'
qui ont été données par Lamé ( ' ) et où la notation — désigne une
dérivée relative à la direction de l'arc dsi.
110. On sait comment Lamé a rattaché à cette notion delà dérivée prise dans différentes directions la définition du paramètre différentiel du premier ordre. Étant donnée une fonction U des trois coordonnées x, y, ^, la dérivée de U relative à une direction quelconque est la projection, sur cette direction, d'une grandeur géométrique qui est dirigée suivant la normale à la surface U =: const. et est écrale à la dérivée 3— suivant cette nor- *=• an
maie. Il résulte immédiatement de là que si l'on porte, suivant trois directions rectangulaires quelconques, des longueurs égales aux dérivées prises suivant ces directions, la résultante de ces
trois segments est le segment — porte sur la normale a la surface U = const. et, par suite, que la somme des carrés de ces trois longueurs est constante et égale au carré de j~- C'est cette
somme des carrés à laquelle Lamé a donné le nom de paramètre diJJ'érenliel du premier ordre, en le désignant par AU. Si l'on applique la propriété que nous venons de rappeler, on voit que l'on aura, en coordonnées rectangulaires,
et en coordonnées curvilignes,
les trois termes représentant les dérivées prises suivant les trois lignes d'intersection.
L'invariant différentiel précédent est relatif à une seule fonction, mais il est aisé d'en déduire un autre relatif à deux fonctions distinctes U et V. A cet effet, il suffira de remplacer, dans les deux expressions précédentes de AU, U par U + ÀV, \ désignant
(') Lamé, Leçons sur tes coordonnées curvilignes, p. 7901 suiv.
igi LIVRE II. — CHAPITRE H.
une constante, et d'égaler les coefficients de X dans ces deux expressions. On est ainsi conduit à un nouvel invariant simultané A(U, V), défini par la double expression
dv dv du dv au dV
