CU V

d.v dx ' dy dy ' dz dz

^ àV dV i^^ J^^^

~ H2 âp âp ^ II] dpt dpi '^ ni ~dpl dpi'

On reconnaît presque immédiatement qu'il a pour expression géométrique

(J/i on

y-, y-7 désignant, pour chaque point de 1 espace, les dérivées de U et de V prises respectivement suivant les normales aux surfaces U = const., V=:const., et nn' désignant l'angle de ces deux normales.

lli . L'invariant AU ne contient que les dérivées premières de U; il j en a d'autres qui contiennent les dérivées du second ordre. Nous allons définir d'abord le plus important, celui qui est linéaire par rapport aux dérivées de la fonction U. A cet effet, nous établirons d'abord une formule générale, analogue à l'équation de Stokes et de C. Neumann.

Etant donné un système de coordonnées curvilignes orthogonales, considérons une portion de l'espace assez petite pour que les surfaces coordonnées j forment un réseau tout pareil à celui qui est constitué par un système de plans rectangulaires; de telle manière que l'un des réseaux puisse se déduire de l'autre par une déformation dans laquelle les longueurs seront altérées, sans que la situation relative des parlies soit changée. A l'intérieur de la portion de l'espace ainsi constituée, imaginons une surface fermée quelconque (S); et, bien que cela ne soit pas nécessaire, supposons, pour plus de simplicité, que cette surface (S) soit rencontrée en deux points seulement par les lignes d'intersection des surfaces coordonnées. Cela posé, considérons l'intégrale triple

LE TRIÈDRE MOBILE. igS

OÙ A, B, C désignent trois fonctions quelconques, et qui est étendue à tout l'espace intérieur à (S). Ou peut la transformer comme il suit :

Considérons son premier terme seulement

-r— dç) dpi dpi,

et intégrons par rapport à p. Il résulte des hypothèses faites que toute ligne d'intersection des surfaces de paramètres o, et pa coupe la surface (S) en deux points seulement; que, sur cette ligne, p ne cesse de varier dans le même sens. On a donc

-— c/p = A — A , dp

A' et A" désignant les valeurs de A pour les deux points M', M" oîi la ligne suivant laquelle on intègre coupe (S). On déduit de là

fff^ <^ <=i d?-2 =JJ'^?^ dp,(X"-\').

Mais on peut remarquer que si l'on désigne par a l'angle que fait la normale extérieure à la surface (S) avec la normale à la surface coordonnée de paramètre p, on a, au point M",

Hi II2 dp\ dpi = di cosa, et au point M',

H1H2 dpi dp-i = — <:/TCosa,

d^ désignant l'élément de la surface (S). On peut donc écrire

///^ ''' ""'' '''' =ffïèû ^^^^ ^'^'

la seconde intégrale étant étendue à toute la surface (S).

En appliquant des transformations analogues au second et au troisième terme de l'intégrale J, on obtient la formule générale

igb LIVRE II. — CHAPITRE II.

OÙ a, ^, Y désignent les angles de la normale extérieure à (S) avec les normales aux surfaces coordonnées. Si p,pj, pa se réduisent aux coordonnées rectilignes rectangulaires, on retrouve la formule de Stokes et de C. Neumann.

Pour appliquer la formule précédente, introduisons deux fonctions arbitraires U et V et adoptons les valeurs suivantes de A, B, C,

H dp Hi dpi H2 dpz

L'intégrale triple contenue dans la formule (aS) prendra la forme suivante :

Si l'on pose

^ A^ . T-. I r^ /H,H, ()U\ ^/HH, ^\ d /HH, c)U\l (2b) ^2^-HHiH2[dpV H (^p/^ dp A Ht àpj '^ dp^[lhWJ ï

elle deviendra

'[A(U,V)-+-VA2U]HHiH2rfp^pi^p2.

Quant à l'intégrale double, elle sera

La quantité qui multiplie Y d<7 est évidemment la somme des projections des dérivées de U relatives à trois directions rectangulaires (les normales aux surfaces coordonnées) sur la normale

extérieure à la surface (S). C'est donc la dérivée -r— de U relative

^ ^ on

à cette normale extérieure, et l'intégrale double précédente peut ainsi s'écrire

Si l'on remarque enfin que

HHiHi^p^/pi^P2

est l'élément de volume dm de l'espace, on verra que la formule

LE TRIEDRE MOBILE. I97

de Stokes et de Neumann nous donne ici

///a(u, V) dm ^JJJy^. u dm =//y ^ d..

Tous les termes, sauf celui qui contient AoU, ont une signification géométrique indépendante du choix des coordonnées, nous l'avons établi. Il doit donc en être de même pour AgU. Il est ainsi démontré que cette fonction, définie par la formule (26), est un invariant.

Si l'on prend les coordonnées rectilignes, on a

^ dx^ dy^ dz^

H2. On est encore conduit à l'invaiùant linéaire du second ordre par une autre méthode que nous allons exposer.

Considérons une transformation ponctuelle définie par les formules

(28) X = f{x,y,z), Y = Mx,y,z), Z=Mx,y,z),

OÙ X, Y, Z, X, jKj z désignent les coordonnées rectangulaires des deux points qui se correspondent, points que nous désignerons par M et m. Aux différentielles dx, dy^ dz des coordonnées de m correspondent des valeurs des différentielles ûTX, dY ^ â?Z définies par les formules

qui peuvent être considérées comme établissant la correspondance entre deux points m' , M', respectivement voisins de m et de M. Cette correspondance est une transformation homographique, dans laquelle les points à l'infini auraient pour homologues des points à l'infini et dont l'étude permet de diviser en deux classes les différentes transformations. L'homographie définie par les

' dx

dy ^

fdz.

dY =

' dx

dy +

dZ =

dy +

igS LIVRE II. — CHAPITRE II.

formules (29) résulte, en effet, de l'addition ou de la composition des deux autres, définies par les formules suivantes :

i c?X = «n dx + «12 dy + «i;

< dY = «21 dx -+- «22 dy -+- «2; ( dZ = «31 dx -4- «32 dy -+- «3;

l dX = bidz - 62 6/j,

idz, sdz;

j dY = b^dx — bdz, \ dZ = b dy - bi dx,

oui'

on î

\ posé

4/ dx'

dfx

Aày'

àf\\ ^ fàfi

a,3 = «3i = i(f^f:^ 2 \dz dx ,

-1 \dy

ày.

et qui, toutes deux, conservent leur forme lorsqu'on fait un changement d'axes coordonnés. La seconde disparaîtra lorsqu'on aura

bi = b=i= bi= o,

c'est-à-dire lorsque f,f\ifi seront les dérivées, prises respectivement par rapport à x^ y, z, d'une même fonction. Ainsi, les transformations définies par des formules telles que les suivantes

dx ày dz

forment un groupe spécial, se séparant nettement par des propriétés qui ne dépendent nullement du choix des axes coordonnés rectangulaires. On les retrouve encore en étudiant le problème suivant.

1 13. Puisque les formules (29) établissent une relation homographique entre les directions des déplacements correspondants des points M et m, on peut prévoir qu'il y aura, en général, trois déplacements du point m à chacun desquels correspondra un déplacement parallèle du point M. C'est ce que confirme le calcul

suivant : si l'on pose

dx ~ dy dz '

on devra avoir, en remplaçant «/K, <r/Y, dL par leurs valeurs,

L'élimination de dx^ dy^ dz entre ces trois équations conduira bien à une équation du troisième ordre en \. A chacune des racines de cette équation correspondra, en général, une seule direction.

Proposons-nous de rechercher toutes les transformations pour lesquelles les trois déplacements précédents sont deux à deux rectangulaires. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que, si (i et o désignent les dilTérentielles relatives à deux de ces déplacements, on

ait

dx "^x -{- dyly ■^- dz o^ = o.

Joignons à cette équation les suivantes :

\dx = df, \dy = dfi, Xdz^d/^, V ^x ~ of, ),' oy = 0/1, X' 0^ = 8/2,

d'où l'on déduira l'identité

( X' — X' ) ( dx ox -+- dy oy -h dz ^z)

— dfcx — 0/ dx -4- d/i oy — o/i dy ■+ df^ oz — Zf^dz,

qui conduira à l'équation

dfox — of dx ■+- dfi oy — ^fi dy -f- df=i 83 — 0/2 dz = o,

OU encore

(I - 'é) «'-«^-''•''^-'+ (Ir - f ) c^--'^^^)