CHAPITRE II
Si l'on désigne par le symbole o' la différenlielle relative au troisième déplacement, qui doit être rectangulaire aux deux premiers, l'équation précédente peut s'écrire
'Ml — 'ÙL] dx dz J
dz dy ) \dx dz) -^ \dy dx
Comme elle doit être vérifiée pour les trois déplacements rectangulaires, il faut nécessairement que l'on ait
dz ôy ' dx dz ^ dy dx
c'est-à-dire que la transformation soit définie parles formules suivantes :
dx dy dz
où U désignera une fonction quelconque de x^y, z.
r . ., . . à\] dV dV , . , TT TT TT
Les trois dérivées j-, —, — ou, plus simplement, Uj, Uo, U3 sont évidemment les composantes de la grandeur -r- dirigée suivant la normale à la surface (U) définie par l'équation U = const. Cette remarque donne l'interprétation géométrique de la transformation à laquelle nous sommes conduits : le rajon vecteur OM représente, en grandeur et en sens, la dérivée de U suivant la normale à la surface qui passe au point correspondant m et pour laquelle U conserve une valeur constante.
On voit quel intérêt il peut j avoir, soit en Géométrie, soit en Physique mathématique, à associer à l'étude d'une fonction U des trois variables x^ y, z celle de la transformation qui lui correspond et qui est définie par les formules précédentes (35). Sans entrer dans cette étude détaillée, nous allons montrer comment on peut obtenir l'invariant linéaire et deux autres invariants du second ordre.
Il suffit, pour cela, de former l'équation en \ qui prend ici la forme
Us, U32 U33-X
LE TRIEDRE MOBILE. 20I
et dont les racines sont évidemment des invariants. En prenant leur somme, on retrouve l'invariant linéaire de Lamé
AjU = Uu-I- U22-+- U33;
mais il y en a encore deux autres, formés par la somme des produits deux à deux ou par le produit des trois racines et qui sont respectivement du second et du troisième degré par rapport aux dérivées secondes.
Ces invariants peuvent être tous formés en coordonnées curvilignes orthogonales.
Si l'on rapporte, en effet, les points m de l'espace à un système de coordonnées curvilignes p, p, , p2, la grandeur géométrique OM a pour composantes relatives aux axes du trièdre (T) les dérivées de la fonction U suivant ces trois axes, c'est-à-dire les quantités .„ . I c)U I (9U 1 dU
u étant exprimée en fonction de p, p,, p2. Si donc on construit le trièdre (T') dont l'origine est le point fixe O et dont les axes sont parallèles à ceux de(T), les valeurs de .r,y, z données par les formules précédentes seront les coordonnées du point M relatives à ce trièdre (T').
Par suite, lorsque p, p,, pa varieront, les projections du déplacement de M sur les axes du trièdre (T') ou du trièdre parallèle (T), seront définies par les formules (C), déjà données au n° 108,
iH-^— dx -h (PioJK + P2o-3)<5?p— JK?oi dpi — Z^Q^dpz, \}yz= dy 37^10 C?p-f-(P2I-Z-t- Poi^)û?Pl — -3^12 rfp2, D^ = o?3— a^lBaoO??— r?2i ^?i-i- (^^02+7^12) c^?2-
En exprimant qu'elles sont proportionnelles aux projections
Il dp, Hi^p., 112^02
du déplacement du sommet m du trièdre (T), on aura l'équivalent des équations (34), c'est-à-dire
?10y-f-?20^-XlIj«?p-h l~ -jPoi)^!
dx
39) { (^-^Piojrfp + (^^^ + ?2,^4-Poi^-XH,)^p,-
dx
ai,"
ày
dp.
-z^o.^dp,
-XH2)rfp2
