CHAPITRE II

En éliminant c/p, dp,, doo, on retrouve l'équation (36) en "k dont les racines sont des invariants. On pourra donc retrouver l'expression en coordonnées curvilignes des trois invariants définis plus haut.

En particulier, si l'on prend la somme des racines, qui doit être AaU, on trouvera

et un calcul facile, où l'on remplacera les [3/^ etles ;r, jk, s pai'leurs valeurs (A) et (3^), donnera immédiatement l'expression déjà obtenue plus haut.

114. Les formules précédentes nous permettent encore de résoudre une question intéressante relative aux transformations définies par les formules (35).

Nous avons vu que, pour chaque point m, les trois déplacements qui sont parallèles aux déplacements correspondants de M sont rectangulaires. Mais on peut demander, de plus, que ces trois déplacements s'eflfectuent suivant les normales à trois familles de surfaces orthogonales données. Cette question peut se résoudre comme il suit :

Rapportons les points de l'espace au système de coordonnées curvilignes déterminé par les surfaces normales aux trois déplacements et cherchons à déterminer U en fonction de p, p,, p^. Les équations (39) devront être vérifiées lorsqu'on j annulera deux des ditlérentielles <ip, dp,, dp.2.

Gela donnera les équations

dx r, ^y o ^^

auxquelles devra satisfaire U. Si l'on y remplace x^ y, z par leurs

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expressions, elles se réduisent aux trois suivantes :

àpi dpi d^\]

I dH, d\5 Hi dpi dpi

I an, d\}

I dU, dU

Hî dpi dpi ~ ' I d\\ d\}

dpdpi dp dp,

H 2 dp dpz i dH dV H dpt dp

H dp^ dp ~ ^' c dH, dU H, dp dp, - ^'

que nous rencontrerons plus loin. Contentons-nous de rappeler maintenant qu'elles admettent une solution dépendant de trois fonctions arbitraires d'une variable (*). Il y a donc toujours une infinité de transformations jouissant de la propriété requise, relativement à tout système triple orthogonal.

115. Nous allons terminer ce Chapitre en donnant à la fois une nouvelle application et un complément de la théorie du déplacement d'un trièdre mobile qui dépend de trois variables. Nous montrerons que cette théorie permet d'étendre aux coordonnées curvilignes obliques les systèmes (B) et (B') de formules que l'on doit à Lamé.

Considérons trois familles de surfaces définies respectivement par les paramètres p, p<, 02. Si ces trois paramètres ne sont assujettis à aucune condition, ils peuvent être considérés comme des coordonnées curvilignes, aussi générales que possible, qu'il pourra y avoir avantage à introduire dans certaines recherches.

En chaque point M de l'espace, faisons passer trois droites rectangulaires formant un trièdre trireclangle (T), dont la position relativement aux plans tangents des trois surfaces coordonnées qui se croisent en ce point sera définie d'une manière arbitraire. Par exemple, l'une des arêtes du trièdre pourra être tangente à l'intersection de deux surfaces coordonnées, et l'une des faces qui passent par cette arête sera tangente à l'une des deux surfaces auxquelles l'arête est tangente. En général, la position du trièdre trirectangle relativement au trièdre formé par les plans tangents aux surfaces coordonnées dépend de trois paramètres pour lesquels

(') Leçons sur la théorie des surfaces (IV" Parlic, Livre VIII, Cliap. XII).

on pourra choisir des valeurs qui seront des fonctions quelconques des coordonnées curvilignes. Dans le cas des coordonnées rectangulaires, nous avons supposé que les deux trièdres coïncidaient. Cette hjpothèse ne saurait être introduite dans le cas général ; mais on peut toujours supposer, par exemple, que les arêtes du trièdre (T) ont été choisies parallèles à trois droites fixes, de sorte que le trièdre n'aurait alors aucune rotation.

Conservons les notations précédentes et désignons par ds l'élément linéaire de l'espace, c'est-à-dire l'arc décrit par le sommet du trièdre (T) lorsque p, p,, pa varient et deviennent respectivement p -h <ip, p, + o?p, , po -i- d^2 ; on aura

j ^^'-^C^^^ + ^i^i + ^ï^^Pî?

et si l'on pose

( 42 ) ds^ = 22 ^'■'^' "^^^ ^^^' il viendra

(43) A,7. = hU-^ ^ri/.+ UU = § \iU-

Nous allons montrer que les quantités A^^ satisfont à des équations aux dérivées partielles du second ordre analogues aux équations (B)et(B').

A cet effet, nous remarquerons que le système (i), où l'on donnera à î et à A- toutes les valeurs possibles, nous fournit neuf équations du premier degré, d'où l'on pourra déduire les valeurs des neuf rotations/?/, ^j, /•/ exprimées en fonction des translations. Si l'on porte les expressions ainsi obtenues des rotations dans les formules (2), on aura neuf équations du second ordre auxquelles devront satisfaire les translations. Ces équations du second ordre, dont le nombre se réduira à six, nous le verrons, ne se présentaient pas dans le cas où le déplacement dépendait de deux variables seulement. C'est grâce à elles que la théorie relative aux déplacements qui dépendent de trois variables présente quelque intérêt nouveau. Nous allons d'abord montrer qu'elles peuvent nous fournir les relations différentielles entre les coefficients de

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la forme quadratique (42), relations que nous avons principalement en vue (').

Supposons, par exemple, que le Irièdre (T) ait été choisi de telle manière que son axe des x soit tangent à l'intersection des surfaces de paramètres p, et po et que son axe des y soit normal à la surface de paramètre O). On aura alors

Tj = o, Ç = o, r,2 = o.

Les équations de définition (43) donneront toutes les autres translations exprimées en fonction des coefficients de l'élément linéaire. On aura, par exemple.

^U = Âc

et ainsi de suite. On tirera de là

Aqi

v/Aoo

V/A22A00— AI2 A12 Aoo— A01 An

/A00/A22A00 — A^j A désisrnant le déterminant

V/A22A0O— Aq^

y/Aoo

Aoo Aqi A02 Aïo Aii A12

A20 A21 Aî2

On pourrait donc utiliser les valeurs précédentes (44) des translations, et en les portant dans les relations différentielles du second ordre dont nous avons signalé l'existence et indiqué plus haut le mode de formation, on aurait toutes les relations différentielles qui doivent exister entre les quantités A/a.

( ' ) On sait que la théorie des formes quadratiques de différentielles, sur laquelle nous avons l'intention de revenir, pour lui donner tous les développements qu'elle comporte, a été inaugurée par les travaux de MM. Christoffel et Lipschitz parus à la suite l'un de l'autre, en 1869, dans le Tome LXX du Journal de Crelle.

Le calcul que nous venons d'indiquer serait dépourvu d'élégance et de sjmélrie ; on peut l'éviter comme il suit.