Désignons par S le déterminant

(46) . 5= ^ r,, Cl ,

qui, par l'emploi des relations (43), conduit presque immédiatement à la formule

et introduisons les neuf quantités A/a/ définies par les formules

Nous allons chercher d'abord les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il soit possible de tirer des équations (43) et (48), où l'on regardera comme connues toutes les fonctions A/a, ^ihi, au moins un système de valeurs des fonctions ^/, /jj, "Qt.

En différentiant l'équation (43), on obtiendra immédiatement la condition

(49) — y-' = A//,/-i-Ax.,7,

où les indices i. A", /peuvent recevoir toutes les valeurs possibles. Ce premier système de formules est nécessaire, mais il n'est pas suffisant. Il exprime simplement, en eff'et, que les équations obtenues en joignant au système (48) les équations dérivées du système (43) sont algébriquement compatibles et ne fournissent

qu'un système de valeurs pour les dérivées -t^> -^, ~ ■ ^ '' ' op/ dp/ dp/

Pour obtenir les valeurs de ces dérivées, on peut résoudre les

trois équations qui définissent Aoay, A, a/, AgA/ et l'on sera conduit

au système suivant :

'df, ^^o'-'di ^^•'■'d^;^^^^'''di;'

(50) / 8 - - = Ao/,7 y- -HA,/,/^- +A2A/-T— »

àU- A ^^ i \ ^^ , V ^° •

— — = AoA7 1^ + A 17../ - H- A 2/.7 -— , d?/ dZ d^, dW

d'où Ton déduira, par un calcul facile, la relation \ O Op, dpr

\ Il h'

la somme du dernier membre étant étendue aux valeurs o, i, a des deux indices /t, /i', et A^^' désignant le mineur qui est le coefficient de A^A' dans le déterminant A.

Gela posé, en diflérentiant les équations (48), nous serons conduits sans difficulté à la formule suivante :

^'"^^ d?r àpi \^dpràp'; Odr>, dpr'

OÙ les indices i, A, /, /' peuvent prendre toutes les valeurs possibles; et il est clair que toutes les équations ainsi obtenues tiennent lieu de celles que l'on obtiendrait si l'on égalait les deux

valeurs distinctes des dérivées telles que -r — ^> -r — -f^j ^j que

' op/dp/> dp/dp/' dp/ôp/' ^

peuvent fournir, par différentiations, les formules (do).

On peut évidemment, soit à l'aide des formules (5o), soit plus simplement à l'aide de la relation générale (5i), éliminer de la relation précédente toutes les dérivées premières des fonctions ^j, rj/. ti, et l'on se trouve ainsi conduit aux équations fondamentales comprises dans le tjpe suivant :

qui, d'après les raisonnements précédents, constituent, avec les relations (49), les conditions, à la fois nécessaires et suffisantes, pour qu'il y ait des fonctions \i, ri/, X^i vérifiant, à la fois, les équations (43) et (48), où l'on considérera les S^ih et les Kif^i comme des fonctions données et connues. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Etant donnée une forme quadratique de différentielles

si l'on a déterminé les valeurs les plus générales des fonctions Aiki vérifiant les relations (49) et (53), l'intégration du système complet fourni par les équations (43) et (4^) fournira tous les systèmes de valeurs des fonctions i/, tj,-, (^,- permettant de décomposer la forme en trois carrés, de telle manière que Von ait

ds^=z{\ dç> -f-^i a?piH- Ud^^y-

-4- (ri (^p -t- r,, d^i -t- r^a d^^^ -f- (Ç r/p -I- Çi <ip, -+- ^, f/pi)'-

Il est évident que ce théorème purement analytique s'étend de lui-même au cas de n variables, et, de plus, que les différentes décompositions en carrés de la forme qui répondent au même système de valeurs des A^vt/, mais à des solutions différentes des équations (43) et (48)? se déduisent les unes des autres par des substitutions linéaires orthogonales à coefficients constants.

117. Supposons maintenant que la forme quadratique considérée soit l'élément linéaire de l'espace. On pourra la ramener à la forme

dx--{- dy--\- f/^-,

et il y aura une de ses décompositions en carrés (') pour laquelle on pourra prendre

/ f / N ^ d.r dy ^ dz

On peut alors calculer très simplement les quantités A/^/; on a, dans ce cas

O dpi dp/, dpi et des formules

r\ dx dx n dx dx r* dx dx

^'■^■=&d^-d^.' ^'''=^;^Ji,^r ^"=v^7T,ôp,'

(') Si nous revenons au point de vue géométrique, cette décomposition en carrés correspond au cas où le trièdrç (T) aurait ses arêtes parallèles à des droites fixes.

LE TRIEDRE MOBILE. 209

on déduira, par différentiation, la suivante :

dAik dAii dAki n dx d^x .

= 2.V-— T -— = 2 Ai

dpi dpk àpi

Sdx ô^x ùpi dp/c dp/

Si donc on introduit le symbole de MM. Ghristoffel et Lipschltz défini par la relation

L t J 2 dp/ 2 dp/c 1 Opi

qui conduit à l'identité

nous aurons

(58) Aa7=[^.^]-

Toutes les quantités A,a/ s'expriment donc exclusivement à l'aide des coefficients de l'élément linéaire et de leurs dérivées premières. Si l'on transporte leurs valeurs dans les formules générales (49) et (53), les premières sont vérifiées, les autres nous donnent la relation générale

qui résout le problème proposé. Elle ne change pas, on le reconnaît aisément, lorsqu'on échange soit i et A", soit / et /', soit /, k et /, /'; et elle tient lieu de six équations entre les coefficients de la forme et leurs dérivées des deux premiers ordres. Ces équations appartiennent à deux types dilTérents : l'un qu'on obtient en supposant /:= i, /'= /', i^k\ l'autre, en supposant iyéik^ /,

La méthode suivie montre d'ailleurs que ces relations nécessaires sont encore suffisantes; car, si elles sont remplies, les relations générales (49) et (53) sont vérifiées par les valeurs (58) des quantités Xijfi. Comme ces valeurs satisfont aux relations

les dérivées correspondantes des quantités i/, y^/, J^/, qui sont dé- D. i4