LIVRE I

CnAPITRE I.

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Il résulte évidemment du raisonnement précédent que chacune de ces équations est une conséquence de l'autre, et, par suite, qu'elles se réduisent à une seule. Comme on passe de l'une à l'autre en changeant le signe d'un radical, on voit que l'équation finale à laquelle devra satisfaire le paramètre a sera nécessairement rationnelle.

Cette équation unique en a est évidemment du troisième ordre. De plus, elle est linéaire par rapport aux dérivées de cet ordre ; et l'on peut déduire, de l'analyse précédente, que toute solution particulière a, déterminant une famille de surfaces sur lesquelles il existera deux séries distinctes de lignes de courbure, fournira un système triple orthogonal dont on déterminera les deux autres familles par l'intégration de deux équations aux différentielles totales et à trois variables.

Pour rappeler les immortels travaux de Lamé sur les coordonnées curvilignes, nous désignerons sous le nom de familles de Lamé toutes les familles de surfaces qui feront partie d'un système triple orthogonal, c'est-à-dire toutes celles dont le paramètre satisfera à l'équation du troisième ordre à laquelle nous avons été conduits.

8. Les recherches que nous venons d'exposer, et par lesquelles la solution du problème des systèmes triples de surfaces orthogonales se trouve ramenée à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre à laquelle doit satisfaire le paramètre de chacune des familles qui composent le système orthogonal, ont été développées et publiées pour la première fois en 1866 dans le Bulletin de la Société philomatliique et dans la Thèse de doctorat de l'auteur ('). Cette réduction du problème à l'intégration

(') Sur les surfaces orthogonales {Bullclin de la Société philomatliique, p. 16; 1866).

Sur les surfaces orthogonales {Annales de l'École Normale, 1" série, t. III, p. 97; 1866).

LES FAMILLES DE LAME. iJ

d'une seule équation offrait l'avantage de donner des notions précises sur l'ordre de difficulté de la détermination des systèmes orthogonaux. Ce problème, exigeant l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre à trois vai'iables indépendantes, apparaissait ainsi comme étant beaucoup plus difficile que la plupart des autres questions de la Géométrie infinitésimale, dont la solution se ramène en général à l'intégration d'une équation du second ordre à deux variables indépendantes.

Il convient de rappeler ici que, déjà dans un Mémoire publié en 1862, M. O. Bonnet avait obtenu, par une voie toute différente, la réduction du problème que nous étudions à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre (').

(') Bonnet (0.)» Mémoire sur les sur/aces orthogonales ( Comptes rendus, t. LIV, p. 554 et 655; mars 1862). Dans ce Mémoire sur lequel nous aurons à revenir, M. Bonnet propose une méthode de recherche des systèmes orthogonaux reposant sur les considérations suivantes : Décomposant le problème en deux, M. Bonnet cherche d'abord les directions des normales aux surfaces qui font partie du système triple orthogonal. A cet eflet, il exprime les neuf cosinus déterminant les directions des normales aux trois suifaces qui se coupent en un point au moyen des trois angles d'Euler 0, cp, 4*; et il trouve que ces angles doivent satisfaire aux trois équations

sinu>sinO^ + cosu^-- = o, dp ^ dp

(a) < cosv sinO - - — sindi^-— = o,

1 op, dp,

cos 8 -r-^ -)- -,— = o, apj C/pj

où p, p,, Pj désignent les paramètres des trois familles de surfaces qui composent le système orthogonal.

Le système d'équations précédent est assurément très simple. M. Bonnet prouve que, si l'on choisit comme variables indépendantes », p, p,, la fonction (^ satisfera à une équation du troisième ordre dont l'intégration entraînerait celle du système (i). Il ne restera plus alors qu'à chercher les quantités désignées par Lamé sous le nom de H, H,, H^. Chacune d'elles doit satisfaire à trois équations aux dérivées partielles du second ordre dont l'intégration amènera trois fonctions arbitraires d'une variable. Cette intégration sera nécessaire à la solution complète du problème proposé; elle ne sera pas toujours possible, mais, il faut le reconnaître, elle sera incomparablement plus facile que celle du système (a), qui doit introduire trois fonctions arbitraires de deux variables indépendantes.

On le voit, la méthode de réduction exposée dans le texte est tout à fait différente de celle de M. Bonnet, avec laquelle on l'a trop souvent confondue; il est même intéressant, au point de vue de la théorie des équations aux dérivées partielles, de remarquer qu'elle n'en était nullement le corollaire. Un système

L'équation du troisième ordre, dont nous avons démontré l'existence et indiqué le mode de formation, a été, pour la première fois, développée et calculée par Cajlej ('). Les recherches de l'illustre géomètre ont donné naissance à vine série de travaux, que nous allons maintenant exposer (-). Voici d'abord comment on peut former et présenter, sous une forme élégante, l'équation du troisième ordre, qui définit les familles de Lamé. Nous commencerons par étendre un peu une notation déjà employée en définissant une opération différentielle et en indiquant quelques formules qui s'j rapportent.

9. Considérons des fonctions u, v, w, a, p, ... de n variables indépendantes ;r,, x^, ..., Xn\ je désignerai par le symbole 8« l'opération suivante

^ du () du d du d

^ ■^' "~" dxi dxi àx-i dxi '^ " ' dx,i àxn^

que l'on peut écrire sous la forme plus simple

d'équations aux dérivées partielles, servant à déterminer plusieurs fonctions, ne conduit pas nécessairement, par l'élimination de toutes les fonctions moins une, à une seule équation. Il aurait pu se faire que le paramètre p de l'une des familles, considéré comme fonction de x^ y, z, dût satisfaire à un certain nombre d'équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur au troisième.

Pour rendre plus sensible, par un exemple emprunté à cette théorie, la remarque précédente, supposons que, considérant x, y, z comme des fonctions de p, p,, p„ on se propose d'éliminer jk, -s et de déterminer x. C'est un problème très intéressant et qui n'a pas encore été résolu; mais, précisément parce qu'il n'a pas été traité, on ne peut afflrmer a priori que a;, considérée comme fonction de p, p„ p„ sera déterminée par une seule équation aux dérivées partielles. On peut même affirmer qu'il en sera autrement.

(') Cayley (A.), Sur la condition pour qu'une famille de surfaces donnée puisse faire partie d'un système triple orthogonal {Comptes rendus, a" semestre 1872, t. LXXV, p. 116, 177, 246, 3i>4, 3Si et 1800 ; et Collected mathematical Paper s, vol. VIII).

(M Darboux (G.), Sur l'équation du troisième ordre dont dépend le problème des surfaces orthogonales {Comptes rendus, 1873, t. LXXVI, p. [\i, 83, 160).

LÉVY (Maurice), Sur une réduction de l'équation à différences partielles du troisième ordre qui régit les familles de suif aces susceptibles de faire partie d'un système orthogonal {Comptes rendus, 1870, t. LXXVII, p. i435).

LES FAMILLES DE LAME. l5

en convenant d'adopter les notations suivantes, qui seront employées dans la suite,

du d^u d^ u

dxi dxidxk dxidxkdxi

11 résulte immédiatement de là que l'on a