CHAPITRE II

finies par les équations aux dérivées partielles (5o), seront telles que l'on aura, pour tous les indices A" et /

dpi dpk

àt\i

àpk

dp/

àpk'

ce qui permettra d'exprimer ^/,, r^k^ sa pa^" les formules x,y, z étant trois fonctions convenablement choisies.

dpk

118. L'analyse précédente aurait pu aisément être détachée de la considération du trièdre (T); voici quelques remarques qui nous y ramènent.

D'abord si, entre les équations (i) et (a), on veut éliminer les rotations, on sera évidemment conduit aux relations (53). Mais, sans éliminer les rotations, on est conduit à quelques formules qui méritent d'être signalées.

Reprenons les équations (i) entre les translations et ajoutons-les après les avoir multipliées respectivement par ^/, tj,, Î^/. On obtiendra une équation ne différant que par les notations de la suivan te

\i \k Pi \i \i Pk

^ikl— ^iik= '1/ lA- qi — rii Ti/ g,,

Ci U ri Ci C/ ''A-

Si donc on pose, pour abréger,

\k pi

"^ik qi

tk ri

ce qui entraîne les relations

(6o) Zik/-^ tkii= o, zm=o,

on aura, pour toutes les valeurs des indices, ( 6 1 ) A;/./ — A///, = tiki— ^iik-

On a, d'ailleurs,

£A^ dpi

= Aiki+ Akit

et celle équalion, jointe à la précédente, permet d'obtenir Ve\pression générale suivante

des quantités A/^/.

En substituant ces valeurs des A,7f/ dans les formules (53), on obtiendra un système de relations diflférentielles entre les coefficients de la forme quadratique et les déterminants s/a/. Ces déterminants seront tous nuls si, comme nous l'avons supposé d'abord, le trièdre n'a pas de rotations. Mais, dans les autres cas, quelques-uns au moins seront différents de zéro. Leur emploi permettra de traiter les différents problèmes que l'on peut se poser et qui concernent la relation entre le trièdre mobile et celui qui est formé par les plans tangents aux surfaces coordonnées. Si, par exemple, on annulait les trois déterminants e/^/ pour lesquels les indices sont différents, on exprimerait, par cela même, que la rotation dont les composantes sont/?/t, q/,. />a son axe situé dans le plan tangent à la surface de paramètre p/t et cela pour les trois valeurs o, i, 2 de k.

RECHERCHE d'uN SYSTEME TRIPLE PARTICULIER.

Avant de poursuivre la théorie, on veut indiquer des applications des équations fondamentales à la recherche d'un système triple particulier. — Dans ses Leçons sur les coordonnées curvilignes et leurs diverses applications, Lamé a attaché une importance toute particulière aux systèmes composés de trois familles isothermes. — Définition d'une famille isotherme. — Condition d'isothermie; elle est vérifiée pour le système des ellipsoïdes homofocaux. — 11 existe donc au moins un système triple, à la fois orthogonal et isotherme.

— Lamé s'est proposé de déterminer tous les systèmes de ce gpnre. En mettant le problème en équation, on reconnaît que ces systèmes particuliers ont une première propriété signalée par M. J. Bertrand : les surfaces qui les composent sont isothermiques, c'est-à-dire sont divisibles en carrés infiniment petits par leurs lignes de courbure. Mais cette propriété n'est nullement caractéristique ; elle appartient, par exemple, au système des cyclides homofocales, qui n'est pas isotherme. — Par suite, en se proposant la recherche de tous les systèmes triples composés de surfaces isothermiques, on est assuré d'obtenir non seulement tous les systèmes isothermes, comme le désirait Lamé, mais d'autres systèmes plus généraux. — Pour accroître encore l'intérêt qui s'attache à ce problème général, on remarque que l'on sera encore conduit à le poser si l'on approfondit une belle découverte de Lamé. — L'illustre géomètre a montré que, si p, p,, p2 désignent les coordonnées elliptiques d'un point de l'espace, l'équation de la chaleur admet une infinité de solutions de la forme suivante : /(p)/i(Pi)/2( P2)- ~ Si l'on cherche tous les systèmes triples orthogonaux pour lesquels on peut formuler une proposition analogue, on reconnaît encore qu'ils doivent être composés de surfaces isothermiques. — Toutes ces remarques nous conduisent donc à entreprendre l'étude du problème le plus général : détermination des systèmes triples composés de surfaces isothermiques. — Mise en équation; forme des valeurs de H, H,, Hj. — On exprime d'abord que ces valeurs satisfont au système (B), ce qui conduit à préciser leur forme. — On obtient ainsi trois types différents de solutions. — Pour étudier ces trois types et achever la solution, on exprime que les valeurs de H, Hj, H2, vérifient le système (B'). — Forme générale des équations qui en résultent. — Conditions pour qu'elles soient compatibles avec celles que l'on a déduites du système (B). — Application aux trois types précédemment obtenus.

— Le premier type nous conduit à trois systèmes triples comprenant, soit une famille de plans parallèles et deux familles de cylindres isothermes; soit une famille de sphères concentriques et deux familles de cônes isothermes; soit une famille de plans passant par une droite et deux familles de révolution ayant cette droite pour axe, et dont les méridiens forment un système à la fois orthogonal et isotherme. D'une manière générale, il faut joindre à ces systèmes leurs transformés par inversion, qui jouissent évidemment de la même propriété. — Le second type ne fournit aucune solution du problème et doit être rejeté. — Quant au ti'oisième, il sera étudié dans le Chapitre suivant.

UECIIERCIIE d'un SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. 2l3

119. Nous avons établi mainlenantles équations fondamentales qui se présentent dans la théorie générale des systèmes orthogonaux. Avant de poursuivre le développement de cette théorie, il convient que nous indiquions quelques applications de la méthode de recherche qui a été développée dans les Chapitres précédents. Nous étudierons tout d'abord un problème célèbre que Lamé s'est proposé dans ses Leçons sur la théorie des coordonnées curvilignes et leurs diverses applications.

On sait que, dans un milieu solide homogène en équilibre de chaleur, la température stationnaire V doit satisfaire à l'équation aux dérivées partielles

^ -, <p\ d^Y cnv

et, réciproquement, toute fonction finie V satisfaisant à cette équation définit un état de température pour lequel le milieu se trouve en équilibre de chaleur. Les surfaces pour lesquelles la température conserve la même valeur sont ce que Lamé a appelé les su/faces isothermes du milieu relatives à l'état d'équilibre considéré.

Pour qu'une famille de surfaces représentée par l'équation

soit isotherme, il faut évidemment que l'on puisse prendre pour V

une fonction de )^,

satisfaisant à l'équation (i); ce qui donnera la condition

d'oii résulte la règle énoncée par Lamé : Pour que la famille de surfaces représentée par V équation (2) soit isotherme, il faut et il suffit que l'on ait

Du reste, quand la condition sera remplie, la température V, rela tive à l'état de distribution de la chaleur pour lequel les surfaces

>.li LIVRE II. — CHAPITRE III.

sont isothermes, se calculera par la relalion

dont l'intégrale est donnée par la formule

(4) y=Je-f^^''^'\ll;

elle est, par rapport aux constantes arbitraires C, C introduites par les quadratures, de la forme

(5) V=CVo+G',

de sorte qu'à une même famille isotherme correspondent une infinité d'états stationnaires différents.

120. Considérons, par exemple, l'une des trois familles de quadriques homofocales définies par l'équation

a — X ù — X c — X OÙ À désigne le paramètre de la famille. Si l'on pose, pour abréger,

on aura d'abord

ce qui donnera

a — A ox

puis, en prenant les dérivées secondes,

a — l'^'^ia-ly-àx'^ \dx) ' " âx^

En ajoutant cette équation aux deux équations analogues en j^ et ^, et tenant compte des précédentes^ on trouvera

A(X) i\l — al — bl — cj La condition de Lamé est donc remplie et la température V cor-

RECHERCHE d'uN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. 2l5

respondante à chaque famille sera déterminée par la formule (4), qui donnera ici

(7) Y^cf-=Û=-^G'.

Ainsi, les quadriques homofocales et orthogonales définies par l'équation (6) constituent un système composé de trois familles isothermes. En d'autres termes, il existe dans un milieu homogène trois états différents d'équilibre de chaleur pour lesquels la température demeure constante, soit sur des ellipsoïdes, soit sur des hjperboloïdes à une nappe, soit sur des hjperboloïdes à deux nappes, homofocaux.

On peut démontrer ce résultat par une méthode toute différente. Étant donné un système triple orthogonal, nous savons (n° 111) qu'en gardant toutes les notations précédentes, on a

Cette relation nous permet d'écrire en coordonnées curvilignes l'équation aux dérivées partielles qui régit la température. Et, en particulier, elle nous permet de reconnaître immédiatement si la condition d'isothermie est vérifiée pour l'une ou l'autre des familles qui composent le système orthogonal.

Si l'on veut exprimer, par exemple, qu'il existe un état stationnaire de distribution de la chaleur dans lequel les surfaces de paramètre p sont isothermes, il faudra exprimer que l'équation

est vérifiée quand on y remplace V par une fonction F(p) de p, ce qui donnera

ou, en intégrant,

(9) MiF'(p) = S,

S désignant une fonction qui ne dépendra que de pi et de pa-

2l6 LIVRE II. — CHAPITRE III.

Appliquons cette condition au système triple formé par les surfaces liomofocales (6). On sait (') qu'avec ce système l'élément linéaire de l'espace est donné par la formule

/(Pl) ^' • /(P2)

OÙ l'on a posé

On a ici

-PiXp-

v/(Pi

-pXpi-

\//(pl)

-Pl)

et ia condition (g) devient

Elle sera vérifiée pourvu que l'on ait

\/7(?^F'(p) = 2G, C désignant une constante, ce qui donnera

Nous retrouvons la formule déjà obtenue plus haut.

. 121. On voit qu'il existe au moins un système triple, à la fois orthogonal et isotherme, c'est-à-dire un système triple composé de trois familles isothermes. Lamé s'est proposé de déterminer tous les systèmes de coordonnées curvilignes qui satisfont à cette

(') Leçons sur la théorie des surfaces {l" Partie, p. i58).