RECHERCHE D'UN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. OIJ

douille condition. Il est aisé de trouver tout d'abord les relations diflcrentielles que doivent vérifier alors les fonctions H, H,, Hg. Supposons que p, pi, p2 aient été choisis de manière à être, selon l'expression de Lamé, les paramètres thermométriques des trois familles isothermes, c'est-à-dire vérifient les équations

En substituant p, p,, po dans l'expression générale de A2(V), on aura tout de suite les équations aux dérivées partielles

d /H,H,\ 0 /HH,\ d /HH, V

qui expriment la propriété cherchée. Elles donnent, en intégrant,

, ,, H,H2 ^ nu, HH,

(.4) -H-=^' "h7=^" ~îh^-

Si désignant, pour abrégei', une fonction qui ne contiendra pas la variable p,.

On déduit des équations précédentes les valeurs

(i5) H = /STS^, H,= /SS^, Hî^s/SS"!

de H, H,, Ha; de sorte que l'on aura, pour l'élément du système triple cherché, l'expression suivante

(16) ^52=S,S2^p2|SS2^Pj -fSS, Jp2.

Cette formule permet de vérifier immédiatement une propriété des systèmes triples isothermes, qui a été signalée par M. J. Bertrand ('). Chacune des surfaces qui les composent peut être divisée en carrés infiniment petits par ses lignes de courbure. Si l'on suppose, en effet, dp2= o, l'élément linéaire de la surface de paramètre p2 sera défini par la formule

(17) ds'^=S^(Sidp^-hSdpl).

(') J. Bertrand, Mémoire sur les surfaces isothermes orthogonales (Journal de Liouville, t. IX, p. 117; i844).

2l8 LIVRE II. — CHAPITRE III.

Le paramètre Og étant constant, S, deviendra une fonction de p, S une fonction de pi ; par suite, le rapport des coefficients de c/pet de r/p^ sera le quotient d'une fonction de p par une fonction de p,. Cette relation caractérise, sur une surface quelconque, les systèmes de coordonnées jouissant de la propriété annoncée (').

122. Ainsi, tous les systèmes triples, à la fois orthogonaux et isothermes, sont nécessairement composés de surfaces qui peuvent être divisées en carrés infiniment petits par leurs lignes de courbure. Mais la réciproque n'est pas vraie, et l'on connaît au moins un système orthogonal, celui des cyclides homofocales, qui, sans être isotherme, jouit de la même propriété. On sait, en eiïet (2), que, si l'on considère les cyclides homofocales définies en coordonnées pentasphériques par l'équation

il passera trois de ces surfaces par chaque point de l'espace; et, si Ton désigne par p, p,, p^ les paramètres de ces trois surfaces, l'élément linéaire de l'espace sera défini par la formule

mds^ =

■Pi)(p-

/(P) i-p)(pi /(Pi)

oui'

on

a posé

et

'■IW^

p)iak — pi){a/c — pi)

f'ictk)

R/t étant le rayon de la sphère coordonnée (S^). Quant aux coordonnées Xi^ elles s'expriment en fonction des coordonnées curvi-

( ' ) Leçons sur la théorie des surfaces ( I" Partie, n" 115 ).

(^) Leçons sur la théorie des sur/aces (I" Partie, n" 154). Voir aussi plus loin,