RECHERCHE DUN SYSTEME TRIPLE PARTICULIER. >.I

lignes par les formules

La formule (19), en même temps qu'elle met en évidence l'orihogonalité du système de coordonnées curvilignes ainsi constitué, montre aussi que chaque cjclide peut être découpée en carrés infiniment petits par ses lignes de courbure, car si l'on fait, par exemple, Og^const., on obtient, pour l'élément linéaire de la surface de paramètre Oo. l'expression

d'où résulte immédiatement la propriété annoncée. Nous avons déjà exprimé cette propriété en disant que la surface est isothermique (').

123. Proposons-nous, d'une manière générale, de rechercher tous les systèmes triples orthogonaux, nécessairement plus nombreux que les systèmes isothermes, pour lesquels toute surface de chacune des trois familles peut être divisée en carrés infiniment petits par ses lignes de courbure, c'est-à-dire est isothermique. Il est facile de trouver quelle doit être, dans ce cas, la forme de l'élément linéaire de l'espace. Posons toujours

Sur la surface de paramètre p^-, l'élément linéaire aura pour expression

et, pour que le réseau des lignes de courbure soit isotherme, il faudra que l'on ait

" fl?l.

"ïT"/i(pi)'

mais, P2 étant constant sur la surface, les fonctions / et /, peu-

( ' ) Leçons sur la théorie des surfaces ( !!• Partie, n" 434 ).

vent contenir po, et l'on doit écrire

H ^ /(p,P2) Hi /i(pi,p2)*

Dans tout ce qui va suivre, nous désignerons par une grande lettre affectée d'indice, A, par exemple, une fonction ne contenant pas la variable p/, et par une petite lettre affectée d'indice, ai par exemple, une fonction de la seule variable p/. L'indice zéro correspondant à la variable p sera supprimé. L'équation précédente pourra donc s'écrire

H A, Hi ~ A '

On devra avoir de même, en considérant les deux autres familles,

li, B2 ^h - Sl

La multiplication des trois équations nous donne