RECHERCHE DUN SYSTEME TRIPLE PARTICULIER

commodité des calculs, nous prendrons

(25) H=: j^e«.--«e, H,= l.n + «s H,= ±eR.-^R,

R, R,, R2 étant de même définition que S, S,, S2, c'est-à-dire ne contenant chacune que les deux variables d'indices différents. On obtiendra les expressions données plus haut relatives aux systèmes isothermes en faisant

12i. On est encore conduit à recheixher les mêmes systèmes orthogonaux si l'on se propose une question très intéressante dont l'origine remonte à la plus belle découverte de Lamé.

Si l'on applique l'expression (8) de AgV au système de coordonnées elliptiques pour lequel l'élément linéaire est défini par la formule (10), on reconnaît immédiatement que l'on a

et de là il résulte qwe l'on aura des solutions de l'équation de la chaleur

si l'on peut satisfaire aux trois relations

I /7(?) I [/ÂP) ^] =(Ap+B)V,

f //(?r);^[v/7(7I7;|]=(Ap, + B)V,

où A et R sont deux fonctions {[uelconques. C'est ce qui aura lieu si l'on suppose A et R constantes, et si l'on prend

(i8) V = 9(p)o,(p,)(fa(p2),

les fonctions d'une seule variable cp, cp,, ©2 étant déterminées par

les équations linéaires

»^-^^>^ [/7(?7;^]=(Ap,+B)î,,

Il y aura, en définitive, pour trouver la solution particulière définie par la formule (28), à intégrer l'unique équation linéaire

(29) v/yx7)J^(v/7(p)^') = (Ap-HB)«,

où A et B sont des constantes quelconques.

On sait comment l'emploi des solutions particulières (28) a permis à Lamé de résoudre le beau problème de la distribution de la chaleur à l'intérieur d'un ellipsoïde, et comment l'étude de l'équation linéaire précédente, faite par M. Hermite, a été l'origine des plus importantes découvertes analytiques. Il était donc naturel de se proposer la recherche de tous les systèmes orthogonaux auxquels on pourra appliquer la méthode de Lamé, et avec lesquels on pourra trouver une infinité de solutions de l'équation de la chaleur, en prenant pour V une fonction de la forme

(30) V = P/(p)/,(pi)/2(p2),

où P désignera une fonction tout à fait déterminée de p, p,, jOa, mais où les fonctions /, f\if'i pourront être choisies d'une infinité de manières différentes et devront satisfaire à des équations du second ordre. La forme précédente, un peu phis générale que celle (28) de Lamé, la comprend comme cas particulier et s'y réduit pour P = i . Voyons comment on pourra traiter le problème ainsi posé.

Si, pour abréger, on pose