RECHERCHE DLN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER

Si l'on y substitue la valeur (3o) de V, elle devient

J{?) \ àp dp/ f(p) dp \ dp /

les teimes non écrits s'oblenanl par des permutations circulaires, elTectuées sur l'indice. Les fonctions y*, /',, y^ doivent donc satisfaire à des équations linéaires. Par exemple si, dans l'équation précédente, on donne à p, et à p^ deux valeurs constantes quelconques, on trouvera pour/ une équation de la forme suivante :

où a, b, c sont des fonctions quelconques de p.

Réciproquement, si l'on veut que les deux solutions d'une telle équation puissent être associées aux fonctions fi ^ f 2 pour donner une intégrale de l'équation de la chaleur, comme cela a lieu dans le cas des surfaces homofocales du second degré, il faudra que l'équation (3i) soit identiquement vérifiée par l'emploi de trois équations de la forme précédente, l'une pour /, la seconde pour/", , la troisième pour/,- Écrivons ces trois équations sous la forme suivante :

(32) /i(pi) + ?.(pi)/;(?.) + ^i(Pi)/i = o,

il faudra que, si l'on en tire les valeurs des dérivées secondes

/"{?)■> fîipO'fïi?^) pour les porter dans l'équation (3 1), celle-ci

soit vérifiée au moins pour deux valeurs différentes des rapports

f f f, Y' f' f/ Comme elle est linéaire par rapport à ces rapports,

il faudra égaler à zéro le coefficient de chacun de ces rapports ainsi que l'ensemble des termes qui ne les contiennent pas. On obtient ainsi les conditions

''"■Tp -^^ ùp =P-?(P)'

à l dP\ d / dP\ d / dP\ dp['d^)-^d^,[''^diJ^diA"'¥J

qui devront être satisfaites grâce à un choix convenable des fonctions cp, cp,, cpa et <|>, tp,, ^2- Réciproquement, toutes les fois qu'elles seront vérifiées, on pourra affirmer que l'équation de la chaleur admethuit solutions particulières, linéairement distinctes, de la forme suivante

p/(p)/i(p.)/2(pO

où y(p), /, (p, ),/2(p2) désignent respectivement des intégrales particulières des équations linéaires (Sa).

Il nous reste maintenant à examiner les conséquences des relations (33).

La discussion se simplifie beaucoup si l'on remarque que les équations (32) sont linéaires; on peut donc, en remplaçant respectivement p, p,, p2 par des fonctions convenablement choisies de ces paramètres, les ramener à une forme nouvelle pour laquelle seront nulles les fonctions <p, cp,, cpa. Alors les trois premières équations (33) se réduiront aux suivantes :

/•î/. '^(«P-) ^Kfl) djoc.P^)

et donneront, en intégrant,

aP2=S-2, a,P2=SÎ, 72P2=S|,

S/ ne dépendant pas de p^. Si l'on se rappelle la signification de a, a,, ao, cela donne, pour H, H, , Ho, des valeurs de la forme suivante

^,-. H S, S, ss, ss,

identiques, aux notations près, à celles que nous avons obtenues plus haut.

Ainsi, l'on est encore ramené à la recherche des systèmes triples pour lesquels H, H,, Ho sont donnés par les formules (25). Pour ces systèmes, on aura

de sorte que les équations (34) nous donneront

âpi \ M et, par conséquent, le rapport — sera une constante. Un pourra

RECHERCHE D'uN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER.

prendre

P = mK

Si l'on substilue cette valeur de P ainsi que les valeurs de a, a, ao dans la dernière équation (33), elle deviendra

(dm •'

Mais nous ne ferons pas usage, au début tout au moins, de cette condition supplémentaire pour M.

125. Proposons-nous donc de déterminer tous les systèmes orthogonaux pour lesquels les valeurs de H, H,, H2 sont données simplement par les formules déjà écrites

(37) H = ^e«'-^ H,= -e«-Rs H,= -.«^-«,

Il faudra former les fonctions ^//^, exprimer ensuite que ces fonctions vérifient les systèmes (B) et (B') du Chapitre précédent. Calculons d'abord ces fonctions P/;^. On aura

M dp y t-i" \ M dpi

Nous avons, pour abréger, désigné par ^oj ^i 5 ^2 les dérivées premières de M; nous adopterons une notation analogue pour les dérivées d'ordre supérieur.

Les fonctions ^,/ç doivent d'abord satisfaire aux équations (B) du Chapitre précédent

-^-Pl0,i02, — p,,Pio, —-1^02^21.

En substituant leurs expressions dans ces équations, on ob- D. i5

tiendra le système

ùK dR .„,

opi àp-i

/, N / '^Rl <^Rl ,1111