MU

dRî

dpi

■ abréger,

d(Rdp,

Rî) d(R — àpi

Ri)

àpr

àpi'

()(Ri-

c)Ri

~ àp^

dRi

ôp

Ri) 0(R2-

àR,

dR^

dp (^pi ctp dpi

Pour que les équations (Sg) soient compatibles, il faudra que les trois valeurs différentes de

dp dpi dp.2

que l'on peut en déduire par la différentiation soient égales. Or, en différentiant la première équation par rapport à p et remplaçant -^"205 ^10 pai" leurs valeurs déduites des deux autres, on trouve

r)Ri dRi dR dR^ dRi dR

dp.2 dpi dpi dp dp dpi

^^/dU ,. dR -. dR\

Les valeurs que l'on trouvera en opérant de même avec les deux autres équations (89) ne différeront évidemment de la précédente que par le coefficient de M. On doit donc avoir

dV ^, dR -. dR

^ dp dpi dp2

l =^Ui + U,fi^U^ = ^-HU^+u/-^.

\ ^pi op-2 àp dp2 dp dpi

Or il est aisé de vérifier les identités

dpi dp2 dp2 dp dp dpi

RECHERCHE d'uN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. 227

Les équations (4i) se réduisent donc aux suivantes :

dU dVi dVj dp ~" dpi ~ (?p2

Comme un calcul direct permet de constater que l'on a identiquement

()U dU, d\}i

dp dpi dpi

on voit que les équations (4i) peuvent être remplacées par les

suivantes :

, dV dUi dV,

dp dpi dpî

Chacune des trois fonctions U/ ne doit donc pas dépendre de la variable de même indice. Par suite, en désignant par K, K,, Kg trois fonctions de deux variables telles que K/ ne dépende pas dep,-, on pourra toujours écrire

d'-K dR dR

~ à^^iOp-, dpi dp-i'

et de même pour U( et U2. Nous mettons une dérivée seconde pour la commodité des calculs qui vont suivre. Nous aurons ainsi le svstème suivant :

qui devra être vérifié quand on choisira pour K, K,, Ko des fonctions convenables des variables dont elles dépendent.

Quant aux équations auxquelles doit satisfaire M, elles prendront la forme

cm dR

dpi dpi

I , i\ I — 1 ---i 1.1/ - •-! à^i àR,

(44) {^io=or,-^^Xo-:^-^M(-^-^^ ~d^-d^

d]U dR^

dp dpi

dRi

dR \ /dRi ~dfi)[ dp.

dR\ d'-K dpi) ~ dpidpi

^dR

\àp2 ~

dRi\/àK2

dRi\ c)2Ki dp) dpdp^'

dRi

dp -

àRA /dR

dp ) [dpi'

dR^\ d-^Kz

dpi ) ~ dp dpi '

-¥Xi

/ d-^K [dpidp.

dRi

dp.

/ à- Kl

[dpûp.

Xo\

dRi

-+-Xi

dR.

[dp Opi

et elles deviendront compatibles, c'est-à-dire elles admettront une solution dépendant de trois fonctions arbitraires d'une variable, si le système (43) est vérifié.

126. Nous allons d'abord chercher la forme des fonctions R, R,, Rai K, K), K2 qui peuvent satisfaire aux équations (43). Ces équations, différentiées respectivement par rapport à p, p,, p2, nous donneront les suivantes :

^"' ^ \"^ dp )dpidpi~ \dpi dpi)dpdpi~ [àp^ dp^ ) op dpi' Supposons d'abord que l'un des binômes

^^ aR2^ ^^

' dp dp ' dpi dpi ' dp.2 dp2

soit nul et que l'on ait, par exemple,

àRi dR.

ce qui donne, en difFérentiant,

d^Rj d^Ra

dp dp2 ' dp dpi

Alors les équations (4^) seront vérifiées. Nous avons ainsi une première solution du problème proposé. On déduit facilement des trois équations précédentes que l'on a

(48) Ri =«4- «2, R2=a-f-ai,

ai ne dépendant que de la variable p/. Quant à R, comme il ne doit satisfaire à aucune condition, ce sera une fonction quelconque de p<, pa. Mais on peut simplifier cette première solution.

Remarquons en effet que, si, dans les expressions (87) de H, H), H2, on remplace R, Ri, R2 respectivement par

R'+ai-f-a2, Ri-t-a-|-a2, Rj + a-f-ai,

OLi ne dépendant que de p/, R', R',, R!, seront des fonctions de même définition respectivement que R, R, , R2. Remplaçons maintenant M par M' e^'^'^^'^^--', les nouvelles expressions de H,