RECHERCHE D UN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER

Hj, Ho seront

et ne difTéreront des anciennes que par la présence des facteurs e^', e'^i, e'^i. Mais on pourra faire disparaître ces facteurs en substituant aux coordonnées curvilignes o, a,, po de nouvelles coordon-

> Pu ?2

nées p', p', , P2, définies par les quadratures

p'=z e^dp, p'j = / e«ic?pi, p2=/e^ac?p2.

On voit donc que, sans diminuer la généralité du système cherché, on peut remplacer les fonctions R, R,, R2 parles suivantes :

R-+-a,+ a2j Ri+a-t-a2, Rj-i-a-l-ai,

où a, y.^, (x.2 désignent trois fonctions quelconques qui dépendent chacune de la variable de même indice.

Appliquons cette remarque générale à notre première solution, définie par les formules (48). Nous voyons que les fonctions Rj, R2 pourront être ramenées à zéro pourvu que l'on prenne

a -f- a = o, txi-h ai = o, ot-j-h a2= o.

Ainsi cette solution est caractérisée par les deux relations

(49) Ri = o, R2=o.

127. Supposons maintenant qu'aucun des binômes (46) ne soit nul, mais que l'une des dérivées secondes

d^R d^Rj d'-Rj

dpi()p2' t^p(^p2' (^pt^Pl

le soit. Alors, d'après les équations (45) et l'hypothèse précédente, ces trois dérivées seront nulles en même temps, ce qui donnera

R = ai-h bi, Ri = a^-h b, Ri= a-h bi,

ai, bi désignant des fonctions de la seule variable p,-. En introduisant comme précédemment des fonctions a, a,, 0L2, on pourra ra-

23o LIVRK II. — CHAPITRE III.

mener les valeurs précédentes à la forme plus élégante (5i) R = ai — «2, R[ = <72 — a, Rj = a — «i ;

mais, pour qu'aucun des binômes (46) ne soit nul, il sera nécessaire qu'aucune des fonctions aine se réduise à une constante. Tel est le type de notre deuxième solution.

128. En dehors de ces deux premières solutions, il n'en existe aucune pour laquelle l'un des binômes {^&) ou l'une des dérivées secondes (5o) soit nulle. Par suite, la comparaison des équations (43) et (45) nous conduira, pour toutes les autres solutions cherchées, aux relations suivantes :

ô^Ko

àpi dp,

r)? dp^

<Jp^p.

ô-^Ki

à?x àpi

dpdpi

dp àp^

La valeur commune de ces trois rapports, le premier ne dépendant pas de p, le deuxième de p, et le troisième de pa, ne peut être qu'une constante A, différente de zéro. Il suit de là que les équations (43) se changeront dans les suivantes :

/rjR d\\.A /d\\ (JRi\ c)2R

\(Jpi dpi / \dp2 dp« ) ~ dp^ôp-y'

()Ri (m\ /^ d\\,\ d2R,

dpi dp^J \dp dp / ~~ dp dp^'

^^V— — — ^ /i!Jk

dp dp J \ dpi dpi j ~ dp dpi '

où ne figurent plus les fonctions K, K, , Ko. Nous allons voir qu'on peut aisément les intégrer.

Prenons, par exemple, la première et effectuons-y la substitution

R = R1 + R2— AlogO, elle deviendra

On aura donc

dpi dp2

R = Ri + R2— /t log(Si + S2),