dxi
8„ ç» = «1 p, -H ^2 P2 + • • • -i- Un Va = Of U,
8„(aP) = ao„p-+- po„a,
et, plus généralement,
Remarquons encore l'identité suivante, qui nous sera très utile,
^ sj s ->
(24) -—SuV = 6uVi-\- O^Ui.
OXi
f^ette formule contient des dérivées secondes : en voici une, plus générale et du même genre. Posons
r:) HT) -1.1^
on trouvera par un calcul facile
( 26 ) Oi, Oiv M = Ot, Ou W = 1
cl de même
0^^,OuV (20)'
lui d(
ce qui ûonne
(27) 8^ Ou. M -H Ovv 8^ «< — 0,^0^ fV = 2 f ' ] ^---Î^^ViWkUa-.
10. Voyons maintenant ce que deviennent ces formules tout à fait générales, lorsqu'on fait des hypothèses particulières.
l6 LIVRE I. — CHAPITRE I.
Supposons que les fonctions p, w satisfassent aux équations
(28) o,iV = o, o„«' = o;
alors nous allons établir que, si l'on a une relation quelconque entre les fonctions ç, w, leurs dérivées premières et d'autres fonctions quelconques, a, [3, ...,
(•29) Il (i>i, ..., wk, ..., t», tv, a, p, ...) = 0,
on pourra toujours, par la différentiation, en déduire une relation du même genre, c'est-à-dire ne contenant que les dérivées premières de v^ w. On déduit, en appliquant la formule (aS) à l'équation précédente,
-\ — û„ Wk dwk
Les deux premiers termes du second membre contiennent seuls des dérivées secondes de ç, w; mais, en tenant compte des conditions (28) et appliquant la formule (24)? on a
Oui'i-
= — Oi,Ui,
i Wk — -
La formu
le (3o) devient donc
2à dwk °"
>Uk
du ,
dv
du ^ V <?n ,
et, sous cette forme, toutes les dérivées secondes de t', w sont éliminées. C'est ce qu'il fallait établir.
En appliquant le même procédé à la nouvelle équation, on voit que, par des différentiations successives, on pourra obtenir autant d'équations qu'on le voudra, contenant seulement t^, w et leurs dérivées premières : par suite, on pourra éliminer ces fonctions et leurs dérivées par la combinaison des équations ainsi obtenues.
Examinons en particulier le cas où il existe entre v^ w une relation de la forme
(32) ^^^\ikviWk=0,
OÙ les coefficients A'* sont des fonctions quelconques no contenant pas v,iv; nous obtiendrons, en appliquant la formule (3i), la nouvelle relation
(33) 22 "'"'^^- f^u^''-^ A'V^„,.,,2 ^'^'uih
k \ Il h
de forme semblable à celle d'où on l'a déduite.
11. Nous allons appliquer ces remarques générales au problème que nous avons en vue. Pour cela, nous supposerons les axes rectangulaires ; nous mettrons x, y, z à la place de Xt, x^, X3, et nous désignerons par u, ç, w les paramètres des trois familles qui composent le système orthogonal. On aura ici
(34) 0(;tP = O, 0,t,W=:O, OuV = O.
Les fonctions ç, w satisfont donc aux deux conditions que nous avons admises précédemment
(35) Ouf' = o, o„w = o, et il V a entre leurs dérivées la relation
(36) Oi,W = i'iWi-h ÇiW.2-\- V3W3=: o,
tout à fait semblable à celle que nous avons donnée plus haut (82). Il suffit de supposer
En appliquant alors, avec ces hypothèses particulières, la formule (33), nous aurons
Cette formule résulterait aussi de l'identité (27), où le premier membre devient nul en vertu des relations d'orthogonalité.
Les équations (35), (36), (87) permettent de déterminer, en fonction des dérivées premières et secondes de u, les rapports mutuels des dérivées premières de ç, w ; et elles expriment, comme on l'a vu, que les surfaces de paramètres v, w coupent les surfaces de paramètre u suivant des lignes de courbure.
l8 LIVRE I. — CHAPITRE I.
De l'équation (3^) déduisons encore une nouvelle équation ne contenant que les dérivées premières de v, w. L'équation (Sa) devient identique à la précédente (3^) si l'on pose
L'application de la formule (33) nous donnera donc la nouvelle équation
Les équations (35) à (38) suffisent maintenant à l'élimination des dérivées premières de c, w. Elles vont ainsi nous conduire à une équation du troisième ordre à laquelle devra satisfaire le paramètre 11^ considéré comme fonction de oc^y^ z; mais auparavant, pour montrer que cette équation, évidemment nécessaire, est aussi suffisante, nous substituerons au raisonnement donné plus haut (n° 7) le suivant, qui est moins élémentaire, mais qui s'appliquera à des cas plus généraux.
Les équations (35)et(37) déterminent complètement les rapports des dérivées premières de v et de w. Si on les supposait résolues, elles nous donneraient, par exemple, pour c un système
de la forme
dv dv dv
dx dy dz
L, M, N étant des fonctions des dérivées des deux premiers ordres de u. On peut dire qu'il faut et il suffît, pour que le système précédent ne soit pas impossible, que la relation, obtenue en différentiant les équations qui le composent par rapport à ^, y, 5, et en éliminant les dérivées secondes de c, soit une conséquence du système lui-même. Mais, à cette remarque évidente on doit ajouter la suivante : les six relations que l'on obtient en différentiant le système ne suffisent pas à déterminer les dérivées secondes de v en fonction des dérivées premières. En éliminant ces dérivées secondes, on obtiendra la condition bien connue d'intégrabilité
LES FAMILLES DE LAME. ig
et il restera seulement cinq équations distinctes entre les dérivées secondes de p, qui feront connaître toutes ces dérivées si l'on se donne arbitrairement l'une d'elles. Il était clair d'ailleurs, a priori, que l'on ne pouvait déterminer toutes les dérivées secondes puisque le système (Sp) ne change pas si l'on remplace v par ç(r), ce qui permet, pour chaque système de valeurs de x, y, z, de donner telle valeur que l'on voudra à l'une des dérivées secondes de la fonction ç.
Ce point étant admis, il est inutile, pour trouver les conditions d'intégrabilité des équations qui déterminent les rapports des dérivées de ç, w, de résoudre les équations (35) à (37), comme nous venons de le supposer. Il suffira de diflférentier successivement, par rapport à x, y, z, ces quatre équations, et d'éliminer ensuite les dérivées secondes de ç et de w. Il devra y avoir dix équations distinctes contenant ces dérivées secondes; les autres, d'où l'on aura chassé les dérivées secondes, devront être toutes vérifiées en vertu des équations (35) k^Sj). Or, en différenliant ces quatre équations, on obtient douze relations dont la combinaison nous a déjà donné les formules (3^) et (38 ). Les dix équations restantes seront celles d'oii l'on ne peut plus faire disparaître les dérivées secondes; cela résulte des remarques précédentes. Ainsi, les conditions d'intégrabilité seront données par les deux équations (37) et (38). L'une d'elles (37), faisant partie du système proposé, sera toujours vérifiée, et il suffit que l'équation (38) soit une conséquence du système des équations (35) à (37).
Cette méthode montre bien pourquoi les deux conditions d'intégrabilité relatives aux fonctions ç, w se réduisent à une seule. L'une d'elles fait partie du système même qui sert à la définition de ces deux fonctions.
12. Après avoir ainsi établi, par un nouveau raisonnement, la réduction du problème à une équation aux dérivées partielles du troisième ordre, voyons comment on peut obtenir cette équation et éliminer les dérivées de v, w entre les équations précédentes (35) à (38). Si l'on pose, pour abréger,
( A^. = o„ lia' — 2 o„,. uj,
on aura d'abord les trois équations
VlWiUii -^. ..-+- (ViWz-+- V-2Wi)Ui2 -+■...= O, ÇiWlAii-h. . .-+-(VlW2-^ ('2tVi)Ai2-f-. . . — O.
Ces équations sont symétriques par rapport à p et à w et ne contiennent que les six combinaisons ViWi^ t'/W/^-h Pyt(V/. Nous pouvons en former trois autres toutes semblables. Pour cela, nous emploierons les deux équations
et nous les ajouterons après les avoir multipliées respectivement par Wi, vi, î recevant les valeurs i, 2, 3, Nous obtenons ainsi le système
[ 2 Cl WiMi -+-■ (Vi (V2 -+■ i>zlVi)Ui-h (i^i W3-{-V3Wi)U3 = O,
(42) ( {l>iW2-\-V2Wi)Ui-+- IV^W^Ui^ {Vz^V3-{- V3W2)U3 — O,
{ {ViW3-+-V3Wi)Ui-h{i>-2W3 + V3W2)Ui-+' Q,V^W3U3= O.
Éliminons maintenant les combinaisons ViWi, t'tf'P'A + c^W/, considérées comme des inconnues indépendantes, entre ces trois équations et les précédentes (4')' iioi's aurons l'équation finale
2 II3
Cette équation, rationnelle et entière, est linéaire par rapport aux dérivées du troisième ordre de n, du troisième degré par rapport à celles du second, du quatrième par rapport à celles du premier. Elle ne contient ni la fonction ni les variables indépendantes. Si l'on écrit à part et si l'on désigne par K l'ensemble des termes qui contiennent les dérivées du troisième ordre, elle est de la forme
OÙ K n'est plus que du premier degré par rapport aux dérivées du second ordre et où ù est du troisième degré par rapport à celles du premier ou du second ordre. Elle se reproduira évidemment lorsqu'on cliangera les axes coordonnés. L'emploi des substitutions élémentaires auxquelles se ramène toute transformation de coordonnées rectangulaires permet, en effet, de reconnaître que le déterminant S conserve dans tous les cas sa valeur absolue, et qu'il change de signe seulement si l'orientation n'est pas la même dans l'ancien système d'axes et dans le nouveau.
13. Comme vérification, nous allons retrouver d'abord une équation donnée en 1846 par M. Bouquet (*). Supposons que l'on cherche les solutions de la forme
(45) u = X-h-Y -hZ,
où X, Y, Z sont des fonctions de x, y, z respectivement; A,;t, Uik seront nuls lorsque i et A" seront différents. On aura
Ah =X'X"'— 2X"2, ..., "11 =X", et l'équation se réduira à la suivante
ce qui est conforme au résultat de M. Bouquet.
14. Comme nouvelle vérification, supposons que, considérant un point de l'espace, on choisisse un système d'axes formé par les directions principales et la normale à la surface de paramètre u qui passe en ce point. On aura, en ce point,
Il restera
(48) S = 2MÎ(a22— "33)("l«123— 2"12"13)7
(') Bouquet (J.), Note sur les surfaces orthogonales {Journal de Liouville, I" série, t. XI, p. 416; décembre ié46). C'est dans ce Mémoire qu'a été établi, pour la première fois, le fait important qu'une famille quelconque de surfaces ne saurait faire partie d'un système triple orthogonal.
ce qui est conforme à un résultat obtenu en i863 par M. Puiseux (' ).
L'expression précédente donne la forme la plus simple à laquelle on puisse, par un choix convenable des axes et à l'égard d'un point déterminé de l'espace, réduire l'équation proposée. Les deux fonctions que nous avons appelées K et Q deviennent ici
. j K = 2Mt(a22— W33)"l23,
Sous cette forme réduite, on voit qu'elles ont une existence indépendante et que, si l'on remplace u par ^{u)i en tenant compte des conditions (47)5 elles se reproduisent multipliées par o'^{u). Elles sont nulles toutes les deux si la famille de paramètre u est composée, soit de sphères ou de plans, soit de surfaces parallèles. Dans le premier cas, en effet, on a
Dans le second, on peut écrire d'une manière générale
En différentiant et tenant compte des relations (47), il viendra, pour l'origine des coordonnées,
et, par suite
K = 0, il = o.
Il serait facile de déterminer toutes les familles satisfaisant à la fois à ces deux équations; mais je négligerai l'examen de celte question pour m'allacher à une conséquence plus importante qu'on peut déduire de l'existence de la forme réduite (48).
