el ^ désignant des fonctions de p
Substituons ces valeurs, ainsi que celle de R, dans la seconde équation (Sa); si l'on se rappelle qu'aucune des fonctions «/ ne peut se réduire à une constante, il viendra
On peut supposer, sans restreindre la généralité,
car on peut, sans changer la valeur (53) de R, remplacer a,, a^ par a, + h' , 0.2 — h', h' désignant une constante quelconque. On obtient donc, pour la forme définitive de la troisième solution, les expressions suivantes
I R = cti-h et.,— h\og(ai — a^), (55) I R,= a -(-a, — A Iog(fl2 ~ «)>
( R2=a -h «1 — h\og{a — «i) de R, R,, Ro.
129. En résumé, nous avons les trois types de solutions caractérisés respectivement par les formules (49)^ (5i) et (55). Nous allons les examiner successivement. Mais auparavant indiquons d'une manière précise le point où nous sommes parvenus.
La fonction M devra satisfaire aux trois équations aux dérivées partielles (44)j qui seront compatibles; mais il nous reste à exprimer que les fonctions ^ik satisfont encore au système (B') du Chapitre précédent
àpr
àp2
àp.
dp
Op
àpt
(56) { il£^ + r^ + p,„p,,= 0,
?2oP2i = o;
ce qui va nous donner trois nouvelles équations aux dérivées partielles pour M. Or, ces équations ne contiennent, outre les dérivées premières, que les dérivées secondes .^oo, ^n? ^22 de M, et il est aisé de les résoudre par rapport à ces dérivées. Si on les ajoute, par exemple, après les avoir multipliées respectivement par — H, H, et Ho, on aura
I 2R r îii^ -4- ^ -4- -^Z*^ -+- ^
l ^' L M M2 "^ M V àp dp
(^7) \ ^^ [\M âpj ^ àpl
Xi dR^y (^2Ri
dpj -^^
dRi dR, a^R,
dp 'dp ^ Tp^
^ dp-\
d'-R dR^/dR - dp\ + dp, \dp,
àR,\
àps)
d^R ^ dR^ fdR
dRyV 'df,)
Les équations que l'on obtiendrait en permutant les indices donneraient de même les dérivées secondes .r, , et X22-
RECHERCHE d'uN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. 233
Ces nouvelles équations ne sont pas nécessairement compatibles avec les équations (44)- Cherchons d'abord quel est le degré de généralité de la solution commune qu'elles doivent avoir.
S'il existe un système orthogonal répondant à la question, ses transformés par inversion donneront aussi des solutions pour lesquelles les rapports mutuels de H, H,, H2 seront les mêmes; Mais M sera remplacée (n° 98) par
/cM[ix - ay+ (y - by-i- (z - c)^],
X, y, z étant les coordonnées rectilignes et a, 6, c, k quatre constantes arbitraires. Il faut donc que la solution commune des six équations (44); (Sy) contienne au moins quatre constantes, c'està-dire que l'on puisse prendre arbitrairement, pour un système donné de valeurs de p, p,, pa, la fonction M et ses trois dérivées premières. Or, comme ces équations font connaître toutes les dérivées secondes de M, on reconnaît immédiatement qu'elles ne peuvent admettre une solution plus générale. Pour exprimer qu'elles sont compatibles, on les différenliera, ce qui permettra d'obtenir deux ou trois expressions différentes pour les dérivées troisièmes de M relatives à deux au moins des variables p, p), o^', ces expressions d'une même dérivée, qu'on pourra ramener à ne contenir que les dérivées premières .Tq, x» , ^2> devront être égales pour toutes les valeurs de ces dérivées, c'est-à-dire qu'elles devront être les mêmes, terme pour terme.
On a déjà exprimé, en étudiant le système (44)) qwe les trois valeurs obtenues pour.ro) 2 par la différentiation de ces équations sont égales; il resterait à exprimer que, si l'on calcule de deux manières différentes une dérivée telle que .^ooi, soit en différentiant par rapport à p la troisième équation (44)? soit en différentiant par rapport à p, l'équation (07), les deux expressions obtenues sont égales terme à terme. Cela fait, les six équations auraient une solution commune avec quatre constantes arbitraires et formeraient un système complet.
130. Le calcul indiqué n'est pas impraticable ; mais on peut l'abréger beaucoup et le faire sous une autre forme en remarquant que les six équations (B), (B') offrent des combinaisons intégrables.
Considérons, en efifet, les deux équations
du groupe (B'), et multiplions-Jes respeclivement par [j,ot/pi, [^2o<^P2« En vertu des équations (B), elles pourront s'écrire
En les ajoutant et supposant constante la variable p, on trouve
(58) d'O^^ -. ?.. î|-' rf„ + ?,. ^'I^ </?. = o.
Or on a, dans tous les cas, en vertu des équations (B),
et, par conséquent, si l'on regarde toujours p comme une constante, la différentielle
peut être exactement intégrée.
Dans le cas particulier que nous avons à traiter, ce point peut être vérifié comme il suit. On a, en se servant des expressions (38) des fonctions ^ih^
On trouve, d'autre part, en tenant compte de la troisième équation (44),
RECHERCHE d'uN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. 235
ce qui permet d'écrire
- (J3oi d dRi /.Tn d]U^
"* dp àpi dp \M dp
— — r— (Kî— LogM) v~- \ u :r-
dp^dpi^ " ^ 2 ()pi \M dp
En intégrant, on trouve
dp [m dp j
-.^(K.-LogM)-i(îf-
dKi
' <)p2 dp dp
L, désignant une fonction qui ne dépend pas de pi; quant aux deux termes qui suivent et qui ne dépendent pas non plus de p,, ils sont ajoutés pour la symétrie des calculs. On trouverait de
d%. dR.2(x^ dK, ' dp ""P^- "^VM "7 dp
dJ^Kj, d^i dKj
dp'^ dp dp
La ne contenant pas pa. Les deux fonctions L,, Lo doivent être telles que ces intégrales soient égales, ce qui donne, en retranchant,
( 9) ^i '"-~\dp dp )\dp '^ dp -x dp -1 dp /'
Il est facile de vérifier que la dérivée seconde du second membre, prise par rapport à pi, pa, est nulle comme celle du premier. Le second membre est donc de la forme A, — Aa, A,- ne contenant pas pr, et, comme l'équation pourra s'écrire
Li— Ai= L2— A2, la valeur commune des deux membres ne pourra dépendre que
de p ; on aura donc
jI. = A,^/(p), I L,= A2+/(p),
ce qui détermine L,, L2 à une fonction près de p.
En intégrant la formule (58), on obtiendra la relation
et, en substituant la valeur de l'intégrale que nous venons de calculer, on trouvera
"M" \di
dp 2
d^Kï
tLi-i-
dRi
ce qui donnera une nouvelle équation aux dérivées partielles à laquelle devra satisfaire la fonction M. Si l'on compare cette équation à la première (5^) qui donne aussi ^oo? on trouve qu'en éliminant cette dérivée on fait disparaître toutes les autres, et il reste l'équation de condition
d^Ka , dR, /aKi dKî
dp2 dp \ dp di^
/dR2\2 dR, dR, d2R, d-^Rj"]
\ dp / dp dp dp2 dp
■^ 'Ldp-j dp^ "^ dp, Vdp, dpJJ
'"'[àpl c^p'i ^^P2 Wp, dpJJ-^-
Cette formule, où L, est défini par les équations (09), (60), constitue une condition nouvelle à laquelle doivent satisfaire les fonctions R, R,, R2. En permutant les indices dans les formules (59), (60), (61), on aurait deux autres conditions de même nature entre les mêmes fonctions.
RECHERCHE d'uN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. 287
131. Maintenant, toute difficulté relative à la fonction M a disparu. Nous avons à reprendre nos trois tjpes de solutions, à exprimer que les valeurs correspondantes des fonctions R, R,, Ra vérifient l'équation (6i) et les deux équations semblables. Si elles peuvent satisfaire à cette nouvelle et triple condition, il ne restera plus qu'à intégrer les six équations simultanées du second ordre, formant un système complet, auxquelles doit satisfaire la fonction M.
Appliquons cette méthode à nos trois types de solutions (^g)-, (5i) et (55). Pour le premier, on a
Ri=R, = 0, Ki==K2=o.
Les valeurs de H, H,, Hg sont les suivantes
(6.) H=jl, H,= ^, H,= ^^^.
L'élément linéaire du système triple orthogonal correspondant est donné par la formule
(63) ds^-=~[dp^-+-e^^\dpl + dpl)].
La forme même de cette expression montre immédiatement que les surfaces de paramètre p sont des sphères ou des plans; car on peut changer les variables p,, po en d'autres o\, p'^ qui dépendent seulement de p,, po et obtenir, d'une inanité de manières, la relation
dp] -h dpi = X 2 ( c/p',2 + dp'^ ) .
Par conséquent, les surfaces de paramètre p ont une infinité de systèmes de lignes de courbure et ne peuvent être, par suite, que des sphères ou des plans. On voit même que les autres surfaces les coupent suivant des lignes formant un système isotherme ou isométrique.
Ici l'équation (Sg) devient
et donne
Li=/(P).
La condition (6i) se réduit à la suivante et comme R ne contient pas p, il faut que/(p) soit une constante,
ri
ce qui donne, en désignant cette constante par ,
Cette équation nous apprend (') que les surfaces dont l'élément linéaire est donné par la formule
ont leur courbure constante et égale à C.
Supposons d'abord C = o. Alors, en remplaçant p,, pa par de nouvelles variables p', , p., et, sans changer p, on pourra toujours ramener
à la forme
nous aurons, par suite, pour le système orthogonal formé avec les variables p, p', , p'^ un élément linéaire dont l'expression sera
( 65 ) C?S2 = -i- ( ^p2 | dp'i , ^p'^2 )
Or, nous avons vu (n" 96) que cette forme de l'élément linéaire ne peut convenir qu'au système formé de trois familles de plans rectangulaires et à ses transformés par inversion. Si l'on tient compte de la substitution opérée sur p,, po, on voit que ce premier cas nous donne les systèmes triples orthogonaux formés dhine famille de plans parallèles, de deux familles de cylindres isothermes, et les systèmes qui en sont les transformés par inversion.
(') Leçons sur la théorie des surfaces (II" Partie, n° 499, p. 371).
RECHERCHE d'uN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. îSg
132. Traitons maintenant le cas où la constante G est positive et égale à — ;• Alors on pourra ramener
e'-^^idp\-h dpi) à la forme
a'^idd^-hsini^df-)
par lin simple changement des seules variables p, etpo, ce qui donnera, pour l'élément linéaire du système triple cherché, l'expression suivante
ds'^= -^i dp^ -I- «2 c?:j2 -f- «2 çin*! 0 d'f- ),
ou, en remplaçant p par «logp et Mp par aN,
(6G) ds'^= ^(Jp2-t-p2f^02-+- p2sin2erfcp2).
On reconnaît, dans la parenthèse, la forme de l'élément linéaire qui convient aux coordonnées polaires. Si l'on tient compte de la substitution etfectuée sur les variables p,, ps, on voit que notre seconde hypothèse nous conduit aux systèmes formés d'une famille de sphères concentriques, de deux familles de cônes isothermes et à leurs transformés par inversion.
