Enfin, supposons la constante G négative et égale à
On pourra alors ramener
ei^{dp\ + dp\) à la forme
^d.r'^--\- dy'^
en remplaçant p par «w et M par— ^> on aura, pour le système orthogonal,
( 67 ) ^^* ^ = ^ iy'' ^^-^^ + ^'-^^ + ^<r ^ ) •
Cette forme convient au système de coordonnées semi-polaires constitué avec une famille de plans parallèles (de paramètre x)^
Mo LIVRE II. — CHAPITRE III.
avec une famille de cylindres de révolution (de paramètre jk) et une famille de plans passant par une droite (de paramètre to), ainsi qu'à ses transformés par inversion. En tenant compte du changement des variables p,, Oo, on voit que nous obtenons ici tous les systèmes triples formés d'une famille de plans passant par une droite, de deux familles de surfaces de révolution ayant cette droite pour axe et dont les méridiens forment dans le plan un système à la fois orthogonal et isotherme, ainsi que leurs transformés par inversion.
134. Tels sont les résultats auxquels nous conduit l'étude de notre première solution. Envisageons maintenant la seconde, pour laquelle on a
R = cfi — «2} Ri = «2 — «5 R, = a — ai. On peut prendre ici
K = — 4^i<^25 Kl = — ^acii, K2 = — 4^^i) et l'on a
L,— 1., = — %a'^-{ai-+-a^),
a' désignant la dérivée de a, ce qui permet de prendre
Li =: — 8a'2a2 + /(p)- L'équation (6i) à vérifier devient donc
\f^ (p) désignant une nouvelle fonction de p provenant de la réunion à — /(p) de tous les termes qui ne dépendent que de p. Si l'on prend la dérivée seconde par rapport à p,, po, on trouve
«; e-2a e4«. -j— e-2«. ( a\ -t- a'^ ) + «i e^^ e-^^. -j— e^"^ ( al — a'/ ) ^ ^ api "p2
Comme la fonction a ne peut être constante, cette équation ne sera vérifiée que si les coefficients de e-", e"^» gQ^t nuls, ce qui donne
RECHERCHE d'uX SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. 24 1
G el C élanl des constantes. L'équation (68) devient donc
— {a"-i-a'-)ai — («"— a''^)ai-\- fi(ç>)-+- Ce^"^--'^ — G'e^a-ia, = q.
Prenant les deux dérivées du premier membre par rapport à Ot et à p25 nous trouvons
a"-+- a'2= 4(;'e2a-4a,^ a"— «'2= 4Ce*«i-2«.
Comme aucune des fonctions «, «,, a-j ne peut se réduire à une constante, il est évidemment impossible de satisfaire à ces conditions : donc le second type de solution doit être rejeté.
