CHAPITRE IV

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KECHERCHE d'uN SYSTÈME PARTICULIER (sUITe). EXAMEN DU TROISIEME TYPE DE SOLUTION.

Le Lroisième type de solution du problème que l'on a commencé à étudier dans le Chapitre précédent correspond aux valeurs suivantes

de H, H,, Hj. Dans ces formules, M désigne une fonction quelconque, h une constante, a, une fonction de la seule variable p,. En écrivant que les équations de condition données au Chapitre précédent sont vérifiées, on obtient les solutions suivantes. — Pour la première, on a h = ; a(p), «,(?), a^ip) sont

des polynômes identiques du 5' degré ; ces hypothèses correspondent au système formé par les cyclides homofocales et à ses variétés. — La seconde solution

cori'cspond à l'hypothèse h = -; a(p), «i(p), «2(p) sont des polynômes identiques du 3" degré. — La troisième solution correspond à la valeur A = i ; a(p), <^i(p)> «2(p) sont des polynômes du second degré qui doivent satisfaire à lidentité

La quatrième solution correspond à la valeur /i = 2 ; les fonctions a, a,, a.^ se réduisent alors à des constantes dont la somme est nulle. — Remarques générales sur la manière dont on pourra déterminer la valeur de M correspondant à chaque solution. — Étude détaillée du cas pour lequel on a h = 1. — Le système corresppndant est exclusivement formé de cyclides de Dupin. — On démontre qu'il est identique à ceux qui ont été étudiés au Livre I", Ch. IIL —

Pour l'étude des systèmes qui correspondent aux valeurs h — 1, h= - et qui

n'apparaîtront pas, d'ailleurs, dans le Chapitre suivant, il est renvoyé à un Mémoire de l'auteur.

135. Il nous reste maintenant à étudier la troisième solution, celle qui est donnée par les formules (55) du Chapitre précédent. Gomme, dans ces formules, a, «i, «2? q^ii ne dépendent respecti-

RECHERCHE d'uN SYSTÈME TRII'LE PARTICULIER. 243

vement que de p, p^, p^? ne se réduisent jamais à des constantes, nous prendrons a, a,, «2 pour les valeurs même de ces paramètres, ce qui nous permettra d'écrire, en changeant les notations,

iR = log«i lof^aj — h lo'^ipi — P2 ), , R, = loga loga., — M()g(p2 — p),

R, = logrt, loga —h log(p — p,).

En modifiant un peu la fonction M et la remplaçant par

il en résultera, pour H, H,, H^, les expressions suivantes :

jl (pi — ?)-''( p — P2)-''

Al y/rt.

que nous adopterons désormais. 11 importe de remarquer que ces expressions ne sont pas typiques et qu'elles subsisteraient, moyennant des modifications convenables de M, a, a,, a-,., si l'on effectuait sur p, p,, P2 une même substitution linéaire à coefficients constants. Nous ferons plus loin usage de cette remarque.

Si nous tenons compte de la modification (2) que nous avons fait subir à M, les équations (44) du n" 12o, auxquelles devait satisfaire celte fonction, se changeront dans les suivantes :

i)-''ioi

IM \/a\

A-l'ip.-

-?i)^oi

= h{xo-

= h{Xi-

- p ) Xio

= h(ori-

Quant à la relation (61) du n" 130, si l'on remarque que l'on peut prendre ici