K, = AR

on trouvera qu'elle devieiU

(fi)

(P2-Pi)^n^'°^ (Pi-P)(p-P2) ^«- ^Pi-P P-P2;

(Pi-p)2 (p-p

'^i(pi) r ^"^'1 p — p2 h i^ — ^'" h.'^

(P — P2)'''L 2^ (P2 - PlKpl — p) ~ (P2 — pl)' ^ (?1 - P)2 ~~ (pi - P)(P2 - Pi).

(p,p>2A| 2a2 (p.2-plA,p — P2.) (p2 — pl)2 (p — P2J''- (p2 — Pl)(p — P2) J

On a réuni dans F(p) à la fonction arbitraire 2/(0) de l'équation (60) du Chapitre précédent tous les termes qui ne dépendent que de p. On obtiendrait deux équations semblables à la précédente en permutant les indices.

Voyons comment on pourra satisfaire à cette-équation. Remplaçons-y d'abord p, et pj par les expressions

pi = p + af<, P2 = p + M,

et multiplions tous les termes par 11-^+^. Il viendra

«('?) Tt^/ X ^ ■2^3—3/(2 au/\ \ ^. ,, / I X] ' — — F ( p ) îf 2 ^ ( 9. A2 — h ) • ( - H- 1 -I- ( A — A2 ) i-f- —

a,(pi)r Aa'i f< A li — Ii^ h^ I

(^ij2/t[^ .•2ai a( i — a) (i — a)- a- a(i — aj |

a.2( p.>) r ha'^

Si maintenant nous faisons w = o, p, et po deviendront égaux à p, quel que soit a, et l'équation précédente deviendra

I ai(p) TA — /f2 /;2 A -j

l a^/' L (1 — a/2 i-aj

Cette nouvelle relation ne contiendra plus que les deux variables p, a et devra être vérifiée pour toutes les valeurs de ces variables.

RECHERCHE d'uN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. 245

136. Supposons d'abord /i < i . Multiplions par (i — a)^ et faisons ensuite a = i, on trouvera, h n'étant pas nul,

Multipliant [lar a- et faisant ensuite a = o, on a de même On a, par suite,

et, en permutant les indices,

a(p)=a,(p); ce qui donne

Ainsi les sjmboles a, a\, a^ représentent une même fonction. En les supprimant dans l'équation (8), il reste une relation qui ne contient plus que a et qui doit être vérifiée pour toutes les valeurs de cette variable. Si on dévelop|>e le premier membre suivant les puissances ascendantes de a, on obtient un résultat de la forme suivante

(9) /î ( '2 A -h I )( /t — I )( A — -2) -h ( A'-— ?, /Oai-2/' -H . . . = o,

les degi'és des termes non écrits surpassant d'une unité au moins le degré de l'un des termes précédents.

Si l'on a a/i >> I, le premier terme du développement est

ai-2/'(/i2 ■xh),

et il ne peut être nul, h étant supposé inférieur à i. Donc l'équation ne sera pas vérifiée.

Si l'on a 2/i =: I, il est aisé de reconnaître que l'équation (8) sera, au contraire, vérifiée. Voilà donc une première solution possible :

Si l'on a 2 A < I , le premier terme du développement (9) devant être nul et h étant différent de zéro, on aura nécessairement

Et, en effet, dans cette hypothèse, l'équation (8) est encore vérifiée.

137. Jusqu'ici nous avions supposé que Ji était inférieur à l'unité. Nous avons donc à considérer les cas où h est égal ou supérieur à l'unité. Commençons par le supposer supérieure l'unité. Si l'on multiplie le premier membre de l'équation (8) par (i — a)-^ et que l'on donne ensuite à a la valeur a = i , il restera

2/i3— -,/iM-2// = h{-ih — \){h — i)= o. Il faut donc que l'on ait

Il = 2.

En introduisant, en effet, cette hypothèse dans l'équation (8), elle se réduira à la forme simple

(lO) <-/( p)-j- <7i(p)-l- <72(p)= o

et sera vérifiée si cette relation a lieu entre les trois fonctions «, Enfin, la dernière hypothèse à examiner,

nous conduit à la même conclusion : l'équation (8) sera encore vérifiée, pourvu que les fonctions a, a,, a^ soient liées par la relation (lo).

138. En résumé, l'équation fonctionnelle (8) admet quatre solutions distinctes qui correspondent aux valeurs suivantes de Ji,

li = —-, h=-, h = l, /l = -2.

Pour les deux premières, a, «) , a.2 sont les valeurs que prend une même fonction quand on y remplace la variable indépendante successivement par p, 'p, et p2. Pour les deux dernières valeurs de h, les trois fonctions doivent satisfaire à la condition (lo). Mais il faut bien remarquer que c'est l'équation (8), et non l'équation plus générale (6) dont elle est une simple conséquence, qui se trouve vérifiée.

Une remarque très simple va nous permettre d'achever la dis-