Commençons par l'hypothèse /i = Nous aurons ici

/(p — pi)(p — P2)

jj^ ^ v/(pi-pKpi-p2)

Mv/«(pi)

Il reste à déterminer M et la fonction a{o).

A cet effet, reprenons l'équalion (6) ; remplaçons-y h par sa

valeur ; muhiplions-la par (p, — ?)^(?i — Pa)^ et prenons la

dérivée sixième par rapport à p,. Il viendra

[a;(pi— p)(p,-p,)+rti(— -,p,^-2p-h3p2)] = o,

ou, en développant,

-^(pi-?)(Pi-p2)+-i^(7Pi-4?-3p2)=o.

apj «pj

Cette équation devant être vérifiée identiquement, il faudra que l'on ait

ce qui donne, pour la fonction a[x), un polynôme du cinquième degré.

11 est inutile de continuer la recherche et la question peut être considérée comme résolue. On sait, en effet, qu'il existe un système triple de cyclides homofocales pour lequel l'expression de l'élément linéaire sera donnée par la formule

^(p,-p)(p.-pO (p.-p)(p.-p.)^ J^

\ «(pi) ^^ «(P2) "^^J

Si on le compare au système cherché, on aura donc

M'2 ds'-i = M 2 ds\

ce qui exige, comme on l'a vu au n° 96, que les deux systèmes soient semblables ou se déduisent l'un de l'autre par inversion. Ainsi notre première solution

nous donne le système des cyclides homofocales et ses variétés^ au nombre desquelles il faut compter le système des surfaces homofocales du second degré.

RECHERCHE Dl N SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. 249

liO. Examinons maintenant l'hypothèse

Nous savons qu'ici encore a, a,, a^ sont trois valeurs diflférentes de la même fonction. En chassant les dénominateurs dans l'équation (6), on obtient la suivante,

ù?2— «)(p — p02(2p — 3p2+pi)-+-(ai— a)(p — p2)-(3?i — 2p — p2)

-hrt',(p2— p,)(pi— p)(p — p,)2+a'2(p-p2)(pi— P2)(p,— p)2

-+-4aF(p)rp2— pi)(p-pi)2(p-p2)2=o,

Si l'on prend la dérivée trois fois par rapport à p, et trois fois par rapport à pa, on aura

, d'*ai d^a, , , d'*a>, d^a-i

dp* dpl ^ dp'; dpi

Cette équation ne peut être vérifiée, quel que soit p, que si l'on a d'*ai d* a^

et, par conséquent, si la dérivée quatrième de a^ est nulle, ce qui exige que at soit un polynôme du troisième degré au plus. On aura donc ici

/ a = mp^ -^ np^ -i-pp -i-q,

(i4) • ai=: mpl^np\-^ppi-hq,

( a-i^ mpl + npl^pp^-hq.

Avec ces hypothèses, et quelles que soient les constantes m, /?. /?, q, l'équation (6) sera vérifiée ; il suffira de faire