RECHERCHE I) C N SYSTEME TRIPLE PARTICULIER

relation

(i8) a -+-ai-h 02 = o.

143. Ainsi nous sommes, dès à présent, assurés qu'il existe trois systèmes triples orthogonaux, correspondants aux trois hypothèses

h= -, Il = 1, h — 1.

Mais aussi nous nous trouvons en présence d'une difficulté nouvelle. Jusqu'ici nous n'avions rencontré que des systèmes connus et nous n'avions pas eu à achever les calculs qu'exige l'application de la méthode générale. Maintenant, au contraire, nous devons intégrer d'abord les six équations aux dérivées partielles du second ordre auxquelles satisfait la fonction M, et qui doivent donner, nous le savons, une solution avec quatre constantes arbitraires. Ensuite, quand M aura été obtenu, il faudra chercher les expressions des coordonnées rectangulaires x^ y, z en fonction de p, p,, po. Nous allons montrer, tout d'abord, que ce second problème sera complètement résolu toutes les fois qu'on aura déterminé la valeur la plus générale de M.

Nous avons vu, en effet (n° 98), que si l'on a obtenu une valeur particulière de M et les expressions de x, y, z en fonction de p, p,, p2 dans le système orthogonal correspondant, les autres valeurs de M, correspondant aux systèmes qui dérivent par inversion du proposé, sont de la forme

a, b, c. A- désignant quatre constantes quelconques. Si donc on pose

on voit que la valeur la plus générale de M sera

ou, sous une forme plus élégante,

(20) M = aiM,-+- «2^2+ «sMs+'ïiMv+^sMs,

M, = M:r, M, = Mj-,

les constantes «, étant liées par la relation quadratique

(21) f/f + a|-r-«| — la^aâ^ o.

Remarquons d'ailleurs que les cinq fonctions M^- seront, elles aussi, liées par la relation quadratique homogène

(22) M j + M? -H M.^ — 2 Mi M5 =- o,

et que cette relation homogène du second degré est la seule qui puisse exister entre les cinq fonctions.

De plus, un calcul facile montre que, si l'élément linéaire du système cherché est donné par la formule

( '23 ) f/52 = -L ( A c/p2 -^ Al dp\ -+- A, dp-^ ),

on a identiquement

( 24 ) ^M ^ ^ rfiVI l + dM l — 2 d\] 4 dM 5 = A f/p2 + A 1 (/p f -+- A , dp | .

Il résulte de toutes ces remarques que la solution la plus générale des six équations aux dérivées partielles qui déterminent M et forment un système complet se présentera sous la forme

( 25 ) M = ai Ml ~ «2 M, -h «.3 M3 -T- «i M4 -L- 03 M;; ,

les six fonctions M/ n'étant pas nécessairement celles qui sont définies par les formules (19), mais ponçant s'y ramener par une substitution linéaire à coefficients constants. De là et des propriétés élémentaires des formes quadratiques résulte la conséquence suivante :

La valeur la plus générale de M satisfaisant aux six éqiiations aux dérivées partielles se présentera sous la forme (26), les six fonctions Mj étant liées par une relation quadratique homogène à coefficients constants

(26) cp(Mi,M2, ..., M5) = o,

et les six constantes «/ par une autre relation homogène

(27) ({/(ai, «2, . , ., «5) — o.

Les deux formes quadratiques cp et tj; seront adjointes l'une à

RECHERCHE d'un SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. 253

l'autre et l'on auia

(28) t^(d\U,cm.2, ...,dM,)= ~(A(h-^-^ Al dpl + A. dpl),

). désignant une nouvelle constante.

Si, par une substitution linéaire quelconque, on ramène la relation (26) à la forme (22), ou, ce qui est la même chose, la relation (27) à la forme (21), il existera un système orthogonal pour lequel on aura

f M = XM-;.