Posons
(5o) jj = ^ui^uj-i- m|.
expression
JJ
(') PuiSEUx (V. )> Note sur les systèmes de sur/aces orthogonales {Journal de Liouville, 2" série, t. VIII, p. 335; i863).
se reproduit quand on change les axes coordonnés. Cela résulte de
l'expression (27) du symbole ( ' j en fonction des 0 qui sont
évidemment des invariants. Remplaçons ViWi, vnvk-h wn'k par les quantités qui leur sont proportionnelles, obtenues au moyen des formules (42) et des deux premières (40> ^^ nous obtiendrons un déterminant
qui se reproduira au signe près et de la même manière que S, quand on changera les axes coordonnés. Au reste, on peut rereconnaître directement cette propriété en remarquant que les trois premières lignes du déterminant sont formées avec les six dérivées secondes des trois fonctions
Un
2Kl
■ilh
et que les trois dernières, si on leur ajoutait la seconde ligne multipliée soit par x, soit par y, soit par ;;, seraient formées de même avec les six dérivées secondes des fonctions
ux, uy, uz.
Voyons ce que devient ce déterminant lorsqu'on choisit le système d'axes indiqué plus haut et pour lequel on a les conditions (47)- On trouve alors
T = '2 «5 («22— «33)H23= 2ii3({f22— M33)(2«12«13— «1«123)H*-
On a donc l'identité
