V '^LL
RijlU, ...,R5 désignant les rayons des cinq sphères coordonnées. Comme on a alors, en vertu de la relation générale (28),
(■ ■'>■>■ ) y dMf = /, ( A d?-^ -+- A, dp l -\- A, d^l ),
on voit bien que l'on obtiendra la formule
A dp'' -h A I f/p 2 -+- A 2 rfp^
.i54 LIVRE II. — CHAPITRE IV.
(j'esL réiément linéaire du sjslème qui correspond à la valeur suivante de M (<)
141. Nous allons appliquer la méthode précédente à la recherche de l'un des trois systèmes triples qui restent à déterminer. Nous choisirons le cas où l'on a
parce que le système auquel il conduit se retrouvera au Chapitre suivant.
Les valeurs de H, H,, H2 sont alors les suivantes :
Mv/a(? — pi)(o — p,)
Mv/^itPi— pK?i — ?2)
Mv/«2(?2— ?)(P2— ?l)
et l'on a
Ia = m p- -^ 2 /i p -^ />, «1 = '«ipf + •i/tipi+ />i, j a-i = /«2 pl -T- 2 II-, Pi -+- p-i,
( ' ) En vertu de la relation bien connue
enti-e les rayons de cinq sphères orthogonales, on voit bien que les coefficients des M,, dans la formule (34) satisferont à la seconde des relations (3o).
Il n'est pas inutile de remarquer qu'un système de coordonnées pentasplicriques est pleinement déterminé, si l'on donne les rayons des cinq sphères orthogonales; car la distance d,j des centres de deux sphères coordonnées quelconques (S,) et (S ) est immédiatement donnée par la formule
d]j = R? + nj,
et il est clair qu'on peut] construire l'ensemble des cinq sphères si l'on counail à la fois leurs rayons et les distances mutuelles de leurs centres.
RECHERCHE DUN SYSTEME TRIPLE PARTICULIER. -iV)
avec les conditions
( m -+- nii -+- niî = o,
(3;) j rt H- rt, -I- Hî — o,
Quant à la fonction M, elle satisfait d'abord aux trois équations
l (? — pi)a:-oi = ^o— ^1,
(38) J (Pi — p2)^12= •3-1 — ^2,
( (Pî— P )Xoî=Xi — Xo,
déduites des formules (4) où l'on a fait A = i.
Dans ce cas particulier, le système (B) peut être complètement intégré et les équations (38) admettent pour intégrale générale la valeur suivante de M
(P — ?l)(p — ?2) (pi— p)(p,— P2) (p2— p)(p2— pi)'
où chacune des fonctions 77 ne dépend que de la variable de même indice. Tout se ramène donc à la détermination de ces trois fonctions ri.
Posons
(4o) N = /-(pi — p2)-f-ri(p2— p)-i-/-2(p — pi).
Les quantités H, H,, Ho prendront la forme plus simple
(4.) H=Pi^P^, H,-^l^. H.P Zlfl.
\^a N/a, N/aj
Si nous calculons les valeurs des fonctions ^z/t, nous aurons, par exemple,
?io= — ^ [/•'i(p2— pi)+ /'i — Ta].
Ces formules nous permettent d'établir immédiatement une propriété géométrique fondamentale du système cherché.
Appliquons la relation (18) du n" 109
^^ '^ Bol HHi ()p H,'
qui fait connaître le rajon de courbure principal pour la surface de paramètre p relativement à l'arc H, f/p, ; nous aurons ici
On voit que ce rayon de courbure ne dépend pas de p, et demeure, par conséquent, le même quand on se déplace sur la ligne de courbure pour laquelle pi varie seule. Cette ligne de courbure est donc un cercle et notre système triple est, par suite, exclusivement formé avec des surfaces à lignes de courbure circulaires, c'est-à-dire avec des cyclides de Dupin.
14o. Or nous avons déjà rencontré deux systèmes formés exclusivement avec de telles cyclides. Pour l'un d'eux notamment, celui qui a été étudié au n" 36, nous avons vu qu'il est formé avec des cyclides du troisième ordre. Si l'on désigne par 0, p,, 03 les paramètres des trois familles de quadriques définies par l'équation
nous avons montré que les paramètres des trois familles orthogonales sont
(« — pi)((t— P2) Jb — pi)( b— p,) (c — pi)(c — p,) ^ a — p b — p c — p
Si donc nous désignons par a, ^, y les paramètres de ces trois familles, nous pourrons les définir par les équations
-pi
-pi
-Pi
-pO
RECHERCHE d'uN SYSTÈME TRIPLE PARTICULIER. aSy
Un calcul facile nous conduit à la relation
qui fera connaître p et donnera
^ , a{b — c)a.-ir b{c — a)P -!- c(a — 6)y
De là, on déduira aisément les expressions des coordonnées rectangulaires x^ y, z en fonction des coordonnées curvilignes a, [^, y. On a, par exemple,
et les expressions analogues en y et 5.
Mais l'essentiel est d'obtenir l'expression de l'élément linéaire. En différentiant les formules (46), on a
(49) = lJ ^ Lr ^.
a — a pi — a p2 — a p — a
En multipliant cette équation par x, en l'élevant au carré el ajoutant ensuite les deux équations analogues, on aura
(a — «)2 C^-by- {y-cy ou encore
M ajant la valeur
C'est bien là un cas particulier de la forme que nous étudions, celui où les polynômes «, a,, a^ seraient du premier degré et auraient les valeurs suivantes
En efTectuant une même transformation homographique sur a, P, y, on obtiendrait le cas où les trois polynômes du second degré «(p), cti{p), «2(p) sont assujettis à l'unique condition d'avoir une racine commune. Mais on ne parvient pas ainsi au système le plus général de la forme (35).
146. Il est vrai que nous avons fait connaître, au n" 35, un autre système triple orthogonal, exclusivement composé de cyclides et plus étendu que le précédent. Nous pourrions procéder pour ce nouveau système comme pour le précédent et vérifier qu'il nous donne cette fois l'élément linéaire le plus général défini par les valeurs (35) de H, H,, Hj. Mais il nous paraît plus intéressant d'aborder le problème directement et de le résoudre par la détermination effective de la fonction M. Nous nous contenterons seulement de remarquer, pour simplifier la recherche, que les polynômes rt, a,, «2 étant liés par la relation
a(p) -4-ai(p) + a.2(p)= o,
c'est-à-dire étant en involution, ils pourront toujours, excepté dans le cas, déjà examiné au numéro précédent, où ils auraient une seule racine commune, être ramenés par une même substitution homographique à ne plus contenir les termes du premier degré. Nous pourrons donc supposer, dans ce qui va suivre,
n = ni = «2= o-
Par suite de la forme de N, les équations du système (B) sont toutes vérifiées et il reste seulement à satisfaire aux trois équations du système (B'), telles que la suivante
dp âpi '-"'-'
Si nous substituons dans cette équation les expressions des quantités [3/a fournies par les formules (42) et celles que l'on en déduit à l'aide de permutations circulaires, elle devient
Sa' N [ r' ( p — P2 ) + /'2 — /• ] -H 2 a N /•" ( p — p2 ) -+- a'iN [ r\ ( p2 — pi ) + /-i — ^2] + aai N /-'( ( p, — pi ) ^ — 2a [/•' (p —p2)+/-2- /•]['■' (pi— P2)-+-/'2—/'l]
i — 2ai[/-'i(p2— pO-t-z-i— r2l[/-'i(p2— p )+ /• — '-2]
\ -K2a2[r;(p2-pl)+/-l— /•2][''2(P -p2)4-/-2— /' ] =0.
RECHERCHE d'un SYSTEME TRIPLE PARTICULIER. 259
Pour trouver les valeurs de /', z^, /'o qui peuvent vérifier cette équation, prenons deux fois la dérivée par rapport à p et deux fois la dérivée par rapport à p,. Nous aurons
— 2ar"{p — piY-i- iar'{p — p2)+ "^ar^ — aar + '-"^ |«i(pi- P2)[^',(?2- pi) + '-1- '-2]
— 2air'((pi — p2)2 — aaiZ-'iCpo — pi)
-f- art] l'i — "y.ai /•, [ —a a, /•"/•'( = o.
Si nous remarquons que r^ disparaît de cette équation et que, en vertu des formules (3^), on peut écrire
a^r", •'[=-,•'[ — {(mpl -\-p)r] - r" ^ [(/«i?^, +/'i)/-i],
l'équation précédente prendra la forme
'■'[ ^ [- «>'(P — P2)- -+- ra'ip — P2)
— 2rt^"(p — p2)^-H 2a/-'(p — p2J— ■y-ar -\- 2(mp^ +/))/■]
()2 + /•"^[— «l''l( Pi— ?2 )-+'•! «'iC pi— ?2)— 2^1 /-'((pi — pî)^
-4-2ai/-'i(pi — P2) — 2«i/-, H-2(mip^4-y^i)/-i] = o.
En égalant à zéro le coefficient de p^, celui de pa et le terme indépendant de p^, on trouvera les trois relations
>'i -j-ii— a i—iar -\- imr) -^- 1 -^ (— a, r, — ■iair\ + 2Wi/-i)= 0,
„ d' , , , /'i -j—^\'ia r p — /•« -i- 4«/'"p — 2a/- )
-+- r -7-^ (2«i /"i pi— riaj -t- 4^1 /'i pi — 2airJ = 0, "?\
/•, ^ (— a /• p2-4- /-pa — -lap^ r -+- lapr'— lar -t- 2yD/-)
■+■ r '^^~'^i''i Pr^-''i?i«i— 2«iPj-/-,'-f-2aipir'i — 2«iri-(-2/)i/-,) = o. Or la forme de ces équations indique comment on pourra y sa-
26o , LIVRE II. — CHAPITRE IV.
tisfaire. Chacune d'elles, divisée par i"" r'\^ prend la forme
nT(p)4-nTi(pi)=o;
et, par des permutations circulaires, on peut lui adjoindre les suivantes
TUl(pi)-f-CT2(p2) = 0, ICT2(p2)-t- TTJ ( p) = O;
il faudra donc que l'on ait à la fois
Tu(p)=0, Trri(pi)=0, 7iT2(p2)=0.
Ainsi nous pouvons écrire ici :
—j-^ ( — a r — lar ->r imr)= o,
-^[^iapr"—2ar'-^a'{2r'p — r)] = o,
d^ —j-^ [— 2ar"p2-{- nar' p ~ -xar -\- a! p{r — r' p)-\- ipr\— o,
et des formules semblables pour r,, ^2-
En intégrant les équations précédentes, on a
( — 2ar" — a' /^' -i- 2mr = u,
(54) l ■2a(2pr" — ;■' ) -f- a' ( 2 /•' p — r) = t», ( — 2a(r"p2— /-'p -h 7')-t- a'p(r — f' p)-i- ipr = w,
u, ç^ w étant des polynômes du premier degré en p. En éliminant /•" entre les deux premières, on trouve
(55) — Q-an'-h a' r = 2up -h V, ce qui donne, en différentiant,
— lar" — a' r' -h ra" = iu -^ ipu -^ v' .
Retranchons de cette équation la première (54), il viendra la
relation
a + 2pa'-+- (^'= o,
d'où l'on déduit que le polynôme u doit nécessairement se réduire à une constante. On est ainsi conduit à reconnaître, en reprenant l'équation (55), que r doit satisfaire à une équation de la forme
