RECHERCHE D UN SYSTEME TRIPLE PARTICULIER

suivante

a r — nar = aoi

où ao et (3o désignent deux constantes arbitraires.

On pourrait aussi remarquer que l'on a identiquement

wp^H- pp -4- (V = o,

ce qui exige encore que le polynôme du premier degré u se réduise à une constante.

L'intégrale de l'équation en r est de la forme suivante

(56) r = Pp — «-f-y/â,

a, ^, Y étant des constantes. On aura de même, a/, [3/, y, désignant de nouvelles constantes,

^1= Pipt— ai4-Yiv/«i, 7-2= P2P2— a2+ Y2v/«I.

En portant ces valeurs dans l'équation de condition (53), on trouvera entre ces constantes les trois relations

ma -h ryiiXi-h m^aci = o, -{- moL^ + pp-i- mict.l-\-pi^l-h m-iocl-hpi^l = o,

qui seront, à la fois, nécessaires et suffisantes.

On peut résoudre ces équations comme il suit. Ecrivons la première sous la forme

mi(a, — a) -f- mj(a2— a) = o.

On pourra poser

a, = a — Xm^, «2= x-h'kmi.

De même on pourra écrire

et il viendra alors

N= Y(pi— p2)/«-<-Yi(P2— p)\/«I-HYî(p — pi)v/«^

H-X(/np-H/nipi-t-/nîp2)+ [x(jopip2-f-/?ipp2-l-/?sppi),

les cinq constantes y, y,, fo-i ^î [>• étant liées, comme il fallait s'y attendre, par une équation homogène du second degré qui est

Si donc on pose

^ (pi — p2)\/â ^ (p2-p)v/^ ^ (p-pi)/^

s/—mp \/—m\px sf—in^Pi

et

mp -4- mipi-t- mapa /^Pi P2-I- />! p?5 + A'=>PPi

V/— mmi ma V — PPiPi

y/ — m/) y/ — niipi

sJ—m^P'i \/— mmim^ \--PP\Pi

on aura

( 59 ) N = y; ar-i + y; a?2 + T3 -^3 + t; a?4 + y; x-,,

les constantes 7'y^ étant liées par la relation quadratique

Donc, d'après la remarque du n° 143, les valeurs des ^/données par les formules (58) seront les expressions des coordonnées pentasphériques en fonction de p, p,, p2. On vérifiera, en effet, conformément à la théorie du numéro cité, que ces coordonnées vérifient l'équation

et qu'elles donnent la relation diff'érentielle

■v^ o do"^ <ip! dpl

(62) y dxj = (pi- p,y ^ + (p, p)2 ^ + (p po^-p.

Les formules précédentes mettent en évidence toutes les propriétés du nouveau système. On voit d'abord que les intersections mutuelles des surfaces qui le composent sont des cercles. Si l'on donne, par exemple, des valeurs constantes à pj et à 02, les quatre coordonnées X2, X3, Xj^, x^ deviennent des fonctions linéaires de p et sont, par suite, reliées par deux équations linéaires et homogènes. Donc les surfaces qui composent le système sont des