RECHERCHE DUN SYSTEME TRIPLE PARTICULIER

C}clides de Dupin. De plus, puisque les cercles d'intersection des surfaces de paramètres p, et pa sont définis par deux équations linéaires où ne figure pas Xt, ils sont tous orthogonaux à la sphère coordonnée (S,) représentée par l'équation

Ces cercles seront donc orthogonaux à une cjclide fixe (l'une quelconque de celles de paramètre p) et à une sphère fixe (S, ). Ils forment donc le sjslème le plus général défini au n" 35. C'est ce que nous voulions établir.

Au reste, ce résultat aurait pu se déduire, sans nouveau développement, des valeurs obtenues plus haut pour les fonctions '') ''i5 ''a- Car l'expression de /', par exemple, montre que, pour la surface dont le paramètre p satisfait à l'équation

les deux rayons de courbure principaux Roi, Ro2> qui se calculent immédiatement à l'aide de la formule (44)> auront poui

valeur commune

Roi= R,)2-

'■' ^a Y v — mp

Donc cette surface sera une sphère, ce qui suffit à la démonstration du résultat précédent.

1 47. Pour l'étude des deux autres hypothèses

Il — 2, h— -,

nous renverrons à notre travail déjà cité plus haut, nous, contentant d'indiquer ici que le système correspondant à l'hypothèse /i = 2 est nécessairement imaginaire et que le système

correspondant à l'hypothèse h= - est transcendant. Remarquons

d'ailleurs que, malgré son apparente généralité, ce dernier système ne dépend d'aucune constante, le polynôme du troisième degré qui y figure pouvant toujours, par une substitution homographique légitime (n° 135), être réduit à n'avoir que des racines numériques.