CHAPITRE V

RECHERCHE DES SYSTEMES ISOTHERMES ET D AUTRES SYSTEMES QUI SE PRÉSENTENT DANS LA THÉORIE DE LA CHALEUR.

On a VU que, parmi les systèmes déterminés dans les deux Chapitres précédents doivent se trouver : i° les systèmes composés de trois familles isothermes; 2° ceux pour lesquels l'équation de la chaleur admet, dans des conditions précédemment définies, une infinité de solutions de la forme P/( p) /, (p, ) /2(p2). — L'objet du présent Chapitre est précisément la détermination de ces deux classes particulières, comprises dans celle que nous avons déterminée. — On commence par la recherche des systèmes isothermes en envisageant successivement les différentes solutions obtenues dans les deux Chapitres pi-écédents. — On obtient d'abord des systèmes formés d'une famille de plans parallèles et de deux familles de cylindres isothermes, ou d'une famille de sphères concentriques et de deux familles de cônes isothermes, ou d'une famille de plans passant par une droite et de deux familles de quadriques homofocales de révolution. — On obtient aussi le système des quadriques homofocales et un autre système imaginaire qui a été signalé, mais non déterminé, par Combescure. — r3ien que ce dernier système ne puisse jouer aucun rôle en Physique mathématique, il y a intérêt à le déterminer; on montre qu'il est formé avec des cyclides de Dupin qui sont imaginaires et du troisième degré. — Après avoir ainsi terminé la recherche des systèmes isothermes, on suit une méthode analogue pour la détermination de la seconde classe signalée plus haut. — On démontre d'abord un lemme fondamental de Lord Kelvin, relatif à l'inversion, puis on montre que les systèmes cherchés se réduisent en définitive au seul système des cyclides homofocales et à ses variétés. — On retrouve cette propriété des cyclides homofocales par une démonstration directe où l'on emploie les coordonnées pentasphériques et une forme remarquable que prend, avec ce système de coordonnées, l'équation de la chaleur. — Le Chapitre se termine par une remarque qui permet d'étendre une partie des résultats précédents aux systèmes de coordonnées curvilignes les plus généraux.

148. Après avoir indiqué comment on peut résoudre le plus général des problèmes que nous nous étions proposés, celui qui a pour objet la détermination de tous les systèmes triples dont les trois familles sont composées de surfaces à lignes de courbure isothermes, nous devons rappeler qu'au nombre des systèmes ainsi obtenus se trouvent nécessairement, comme nous l'avons démontré, 1° tous ceux qui se composent de trois familles iso-

thermes; 2° ceux aussi pour lesquels l'équalion de la chaleur admet les solutions particulières précédemment définies au n° 124 et de la forme P/(?)/. (?i)/2(p2).

Nous commencerons par la recherche des systèmes composés de trois familles isothermes; c'est une question sur laquelle les découvertes de Lamé ont appelé les travaux d'un grand nombre de géomètres; les résultats obtenus dans les Chapitres antérieurs vont nous permettre d'en donner une solution complète et, nous l'espérons, rigoureuse (').

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que trois fonctions /(p), fii^i), fii^i) des coordonnées curvilignes puissent être des températures, c'est-à-dire soient solutions particulières

de l'équation

s'expriment, nous l'avons vu, par les équations

^p[-ïr-^(p)J=«' ;^[iîr^H^°' ^7;[ii7-^H^"-

Il faudra donc, pour que les trois familles dont se compose le système orthogonal soient isothermes, que l'on puisse choisir les fonctions/, /, , /o de manière à vérifier les trois équations précédentes. Appliquons cette règle aux différents systèmes triples que nous avons obtenus.