Pour les premiers, on a (n

(2) ds^= ±-^[dp^+e^^{d?l + dpl)], la fonction R de p,, po devant vérifier l'équation

(3) l- -(Ge2R = o,

où C désigne une constante quelconque.

(') Il est clair que, si l'on se bornait à cette recherche particulière, les méthodes et les calculs donnés plus haut subiraient de très grandes simplifications.

Ici les conditions (i) prennent la forme suivante

et, si l'on pose

(5) M=.A-/'(p)/;(pO/;(?-2),

elles expriment que les trois dérivées de A' sont nulles; par suite, k est une constante et M est le produit de trois fonctions qui dépendent respectivement de p, de pi et de p2. Nous poserons, pour la commodité des calculs,

y-i ne dépendant que de p/. Alors, pour chacune des trois familles, les températures seront respectivement égales aux intégrales suivantes

/ e-a dp, I e-«i dpi, 1 e-^^ dp^^

?oi = e«a',

?io-«-«a;,

Po2 = e^<^',

multipliées par des constantes quelconques. Calculons les fonctions 3/^; nous aurons

En exprimant que ces fonctions vérifient les équations (B), (B'), on aura les conditions

/ a'cc'y = o, a'a'^ — o,

, dK , dR , ,

\ a, h a., -— -H ai a., = o,

I àpi - dpt

} „ -, > àR , àR ,^ „

dR , dR

àpt "- àp2 à^-R à^R

l ôpl dpl '

Si nous considérons les deux premières, nous avons le choi^

entre deux liypothèses possibles, que nous allons envisager successivement. On peut supposer d'abord

Alors la troisième équation est vérifiée, les deux suivantes donnent

Il faut que a' soit une constante. Si cette constante est nulle, l'expression de M fournie par la formule (6) se réduit à une constante. On peut faire

et l'élément linéaire du système triple a pour expression

(il) ds'^=dp'-+e-^^{dp\^dpl).

Les surfaces de paramètre p forment des plans parallèles , et les surfaces de paramètre p» et ^2 forment deux familles de cylindres isothermes. Telle est notre première solution.