Si la constante a' n'est pas nulle, posons
On aura, en vertu de l'équation (10),
dp' op^ a^
Cette équation exprime que la surface dont l'élément linéaire serait déterminé par la formule
ds'^=e'^^{dp\^dp\)
aurait sa courbure totale égale à — •
Gomme on peut prendre ici
l'élément linéaire du système triple aura pour expression
(i3) ds^=e" [dp^+e'-^{dp\-hdpl)].
Poso
ns
(i4) e"dp = dp', e« = i-;
il viendra
(I5) rf,2=^p'2+p'2__LJ^± fV.
Cet élément linéaire convient évidemment à un système composé d'une famille de sphères concentriques et de deux familles de cônes isothermes. Ce sera notre deuxième solution.
151. Revenons maintenant aux deux premières équations (8) pour examiner leur deuxième solution, qui correspond à l'hypothèse
Alors les trois équations suivantes du même système nous donneront les relations
a'( -I- a'i^ -H a^ -l- o!^- = o, dK a, a'( ()R a.\ n.\
dp^ a';- + a'/ dp^ a',^ + a'/
d'oîi l'on déduira, en désignant par h et k deux constantes,
/ a'i -H a'i- = /i^, «2 -I- rx'^ = — A^,
Posons
les deux premières équations (17) se transformeront dans les suivantes
ce qui nous donnera, en intégrant et désignant par A, B, A', B' des constantes quelconques,
-P- = h /o';' — 4AB,
l p' = Ae'^pi -f-Be-/'P.,
[ p'.^ = X'e'f'P^-hB'e-''*?',
Comme a, et ag n'entrent que par leur somme dans l'expression de M, il est permis de multiplier p'^ par une constante, à la condition de diviser p', par la même constante. Cela nous permettra de supposer, sans diminuer la généralité, que l'on a
