AB , , { «P, «P

Le lecteur vérifiera aisément que cette expression convient au système triple dont deux familles sont formées de quadriques de révolution engendrées par des coniques homofocales tournant autour d'un de leurs axes communs, la troisième famille étant formée de plans passant par cet axe.

Les valeurs particulières des constantes que nous avons négligées donneraient des cas-limites du système précédent.

152. Examinons maintenant les systèmes triples pour lesquels les valeurs de H, H,, Hj sont données par les formules (3) du Chapitre précédent (n° 135). Alors les conditions d'isothermie (i)

prendront la forme

;^A"~ir-j = «' di,\ — M — ) = ''' ôfA — M — ; = "'

et elles ne pourront être vérifiées que si M est proportionnel au produit

/'(p)/i(Pl)/2(p2)/«"l«2,

c'est-à-dire est le produit de trois fonctions

dépendant respectivement de p, de pi et de p^. Mais, comme M doit d'abord être une solution des trois équations (4) du n° 135, on reconnaîtra aisément, en substituant la valeur précédente dans ces équations, que l'on doit avoir

A se //a'i Aa'j

La valeur commune des trois expressions précédentes ne doit dépendre ni de p, ni de p,, ni de p2 et doit, par conséquent, se réduire à une constante k. En intégrant les équations

on obtiendra pour M la valeur suivante

M == A ( p - A- )-/^ ( pi — A)-'' ( p2 — A- )-'' ;

et celle valeur peut même être réduite à une constante ou à l'unilé si l'on effectue sur les variables p, p,, p, la substitution

P — k = —.> Pi A' = — ^ > P2 — K = —r y

qui est évidemment permise, d'après la remarque faite au n" 135.

Ainsi, on pourra supposer, dans la suite, M = i et l'on voit

qu'alors, si le système est isotherme, les températures relatives aux

trois familles qui le composent seront respectivement données par

les intégrales

f^, f^lL, f^P\

que l'on pourra mulliplier par des constantes quelconques.

153. Pour trouver ceux des systèmes qui sont isothermes, il faudra remarquer qu'ici les équations (B) sont toujours vérifiées et que, si l'on substitue les valeurs des fonctions p,Vf dans le groupe (B'), on obtient trois conditions telles que la suivante

Nous savons déjà que «o est un polynôme en pa d'un degré au plus égal à 4 — 2 A. L'équation précédente montre immédiatement que ce degré ne pourra dépasser 2 — 2 A; et, par conséquent, elle exclut déjà celui de nos systèmes qui correspond à l'hjpo-

tlièse

Si l'on suppose maintenant A = , a, a,, a-i représentent

alors un même polynôme qui, d'après la remarque précédente, doit être du troisième degré au plus. On verra aisément que l'équation précédente est alors vérifiée sans qu'il soit nécessaire d'imposer de nouvelle condition à ce polynôme. On obtient ainsi le système formé par les surfaces homofocales du second degré et toutes ses variétés.

Si l'on suppose h:=^ - j a^ a\^ «2? qui, dans le système correspondant, sont des polynômes du troisième degré au plus, devraient se réduire au premier degré. On verra aisément que l'équation précédente ne peut être vérifiée.

Enfin, si l'on suppose /i==i, a, «,, a^^ qui sont, en général, des polynômes du second degré (n° 141), doivent se réduire à des constantes/?, />,, p^ dont la somme sera nulle. Dans ce cas, en effet, l'équation (22) sera toujours vérifiée.

154. Il semble donc que l'on puisse ajouter aux systèmes connus de Lamé, et retrouvés plus haut, un système nouveau pour lequel l'élément linéaire sera donné par la formule

ds"^

(^3^ , (p-p,)npi-P2)^(P2-pr^

Ce système, signalé pour la première fois par Combescure ('), existe en effet. Mais, par suite de la relation

qui a lieu entre les constantes, il est toujours imaginaire. Il n'a donc pas d'intérêt pour la Physique mathématique; toutefois, comme les imaginaires doivent prendre une place aussi grande en Géométrie qu'en Analyse, il nous a paru intéressant de le définir complètement. (]'est ce que l'on peut faire si on le considère comme un cas-limite de celui qui est formé de trois familles de cyclides à lignes de courbure circulaires et qui a été déjà déterminé plus haut, au n° 146.

Reprenons en effet les formules (58), (62) du n° 146 relatives à ce système; elles entraînent cette conséquence que l'expression de l'élément linéaire dans un système de coordonnées pentasphériques pour lequel les rayons des sphères coordonnées seraient R( , R2, . . ., Rg serait donnée par la formule

(24 ) ds^-

, 9 , dçi-^ «'P? dal

dxl (pi p,)2^+(p,p)2^+(p p,)2J^

Si nous faisons tendre vers zéro les trois constantes m, m,, m^ pour obtenir le cas où les polynômes «, <2), «3 se réduisent à des constantes /?, /?,, jOo dont la somme est nulle, les expressions des coordonnées Xk deviennent illusoires. Mais, si l'on développe les trois premières suivant les puissances positives des quantités m.

(') Combescure (E.). Sur les déterminants fonctionnels et les coordonnées urvilignes {Annales de l'École Normale, i" série, t. IV, p. gS; 1867).

m, OU m2, considérées comme étant du même ordre, et si l'on pose, pour abréger,

(25)1 -^'^P'"?-^' r2=p2— P, JK3=p — pi,

i pyi=-p\9i—?î)> piy2=—pi(pi-?)> i'2r3=-p|(p-pi)

Portons, concurremment avec ^4, ^5, ces expressions dans l'identité (61) du n" 146; on obtiendra, en égalant à zéro les termes des deux premiers degrés, les nouvelles relations identiques

(27) < m nii rrii auxquelles il faudra joindre la suivante

(28) Jj+j2 + y3=0,

simple conséquence des équations de définition (25).

En effectuant les mêmes substitutions des valeurs des x/( dans l'équation (62) du n" 146, on trouvera de même

(2q) — ^H -\ — dxl = o,

nii m-2 m-i

Idyi dy\ -f- dy-i dy\ + dy^ dy\ h- dx\ 42 d^t d^i

= (?1-P2)^-^ +(p2-p)2-p-H-(p-p.P-r^- P P\ Pi

Ces relations permettent d'obtenir le résultat cherché.

Si l'on élimine, en effet,y3 à l'aide de l'identité (28), la seconde identité (27) prend la forme

y^^y\—y\)-^yï{y\—y'^)^ a;? = o

et se présente sous la forme d'une relation quadratique entre cinq fonctions. Si l'on pose

cette relation quadratique prend la forme

et l'équation (3o) nous donne alors

(32) ^dx'^'^ip.-p^y-^+ip.-py-^-^iP-pO-'^-

Cela posé, essajons de disposer des cinq constantes R;^ de telle manière que l'on ait

On verra facilement qu'il suffît, pour cela, de prendre

^^î> ïï;=^' k = '^' t=^" k = '^" k^""-

Alors l'élément linéaire de l'espace, dans le système de coordonnées pentasphériques pour lequel les rayons des sphères coordonnées seraient donnés par les formules précédentes, aura précisément pour expression

(35) (Mi

C'est la formule (23) donnée plus haut, qui caractérise le système cherché.

153. Si l'on ne veut pas employer les coordonnées pentasphériques, on peut raisonner comme- il suit. Les fonctions 7/, j^ , x^

RECHERCHE DES SYSTÈMES ISOTHERMES. X'J'i

satisfont aux relations (27), (3o) que l'on peut transformer comme il suit. On a

(36) py\^ pif^^ p^-y'-i^ {9 - pi)(pi — p2)(p2— p) = !;•

Introduisons dans les relations la fonction !^ à la place de y\\ elles deviendront

1 ^ cK + d {y,- l^y\ diy'.^ - y'^ ) + dx\ (38) \ ^ ^ 1 /

Cela posé, il suffît d'appliquer le lemme du n° 143. On satisfera à la première identité en prenant