X-^ /'?lp2-+-/'l??2 + /'2?pl

Y — Zt

pyi—p\yi />p+7>ipi + />2 Oi

,3x7 —^v—ppipi K\/—ppiP2

^^ ^v — ppiPi

pi p^

et la formule (38) donnera alors

Par suite, X, Y, Z sont les coordonnées rectangulaires du point qui, dans le système cherché, a pour coordonnées curvilignes 0, p,, P2. Les formules (39) résolvent donc analytiquement la question proposée. On peut en déduire les conséquences géométriques suivantes.

Si l'on augmente p, p,, p2 d'une même quantité h dans les formules (39), les nouvelles coordonnées X', Y', Z' seront liées aux

anciennes par les formules

(40 j Y'— Z'i= Y — Zi,

( Y'-\-Z'i= Y+Zi-+-2AX — A2(Y -Zi),

qui entraînent la suivante

Ces formules définissent une rotation finie autour de la droite isotrope

(43) X = o, Y — Zt=:o.

Ainsi le système tout entier ne change pas quand on lui imprime une rotation quelconque autour de celte droite et, par suite, les surfaces de chacune des trois familles qui composent le système se déduisent de l'une d'entre elles à l'aide d'une rotation autour de cette même droite.

Étudions, par exemple, les surfaces de paramètre po. Pour connaître leur forme, il suffira de prendre celle qui correspond à la valeur

On aura alors

p; Y-^zi= ^^p-

(pi— ?)V—PPiP^- (Pi—?)V—PPlP2

PPipi—p)

L'élimination de p et de pt conduit à l'équation

+ Z2)fY + z.--t/^^=-X2*/z:^^ V V ppi / V PP2

On reconnaît aisément qu'elle définit une cyclide imaginaire du troisième degré, qui est l'inverse, par rapport à l'origine des coordonnées, du cône défini par l'équation

Ce cône est de révolution et une de ses génératrices isotropes passe à l'origine.

Nous signalerons aussi cette circonstance singulière que, si l'on effectue une inversion dont le pôle est placé à l'origine, le système orthogonal se transforme en un autre dont les trois familles sont formées de cônes égaux du second degré, tous de révolution.

156. Nous allons maintenant étudier le second des deux problèmes que nous nous étions proposés et déterminer tous les systèmes triples pour lesquels l'équation de la chaleur admet une infinité de solutions de la forme

Mais auparavant nous démontrerons un lemme célèbre qui est dû à Lord Kelvin ( ' ) :

Si Y{a:,y^ z) est une solution de V équation de la chaleur et si l'on effectue une inversion, définie, par exemple, par les formules

x' y' z' x'-^-hy-fZ'^ /-'ï'

la fonction

sera une solution de Inéquation de la chaleur relative aux nouvelles variables x' ,y, z' .

En effet, comme l'on a

( 49 ) dx-^+dy^^ dz^ = ^ ( ^^'2 + ^y 2 ^dz'^),

on pourra considérer x\ y', z' comme des coordonnées curvilignes et appliquer la formule (26) du n° 111, ce qui donnera

^ ~ k- ldx'\r'^ dx'J ^ ày'\r'-^ dy' ) '^ ôz'\r'-^ dz')\

/^ oi2V a£^ ^\r') dV ~ 7^ dx^ ~^ T* ôx' dx' "^

( ' ) Sir W. Thomson, Extrait de deux lettres adressées à M. Liouville. — LiouviLLE, Note au sujet de l'article précédent {Journal de Liouville, i" série, t. XII, p. 25(5 et 265; 1847).