Appliquons cette remarque à notre première solution
(') La proposition de Lord Kelvin montre également comment on pouvait être conduit à se proposer le problème que nous allons étudier : du moment que l'équation de la chaleur admet une infinité de solutions de la forme
où p, pi, p2 sont les paramètres de trois familles de quadriques homofocales, elle devait admettre des solutions de la forme (47) pour tous les systèmes triples inverses du précédent. On voit donc qu'il y a des systèmes jouissant de la propriété que nous recherchons, et il était naturel de se proposer de les déterminer tous.
Elle nous a donné trois systèmes triples différenls, comprenant, le premier une famille de plans parallèles et deux familles de cylindres isothermes, le second une famille de sphères concentriques et deux familles de cônes isothermes, le troisième une famille de plans passant par une droite et deux familles de surfaces de révolution à méridiens isothermes, systèmes auxquels il faut ajouter tous ceux qui en dérivent par inversion. Nous pouvons évidemment nous borner à considérer les Irois systèmes fondamentaux et négliger leurs transformés par inversion ; mais on peut aller plus loin et négliger même le troisième système, celui qui comprend deux familles de révolution. On peut, en effet, démontrer le théorème suivant :
Si l'on admet l'emploi des inversions imaginaires , toute surface de révolution dérive d'un cône par des inversions ('); tout système triple qui comprend deux familles de surfaces de révolution ayant un même axe dérive par inversion d'un système triple comprenant une famille de sphères concentriques.
Considérons en effet les plans passant par une droite fixe; une première inversion les transforme en sphères ayant un cercle commun; si l'on place le pôle d'une seconde inversion au centre d'une des sphères de rayon nul qui contiennent ce cercle commun, les sphères passant par le cercle se transforment en sphères concentriques.
Il suit de là que toute surface de révolution, c'est-à-dire toute surface qui coupe à angle droit des plans passant par une droite fixe, se transforme en une surface qui coupe à angle droit des sphères concentriques, c'est-à-dire en un cône ayant son sommet au centre de ces sphères.
On voit aussi que tout système triple comprenant une famille de plans qui passent par une droite peut se transformer en un autre système comprenant une famille de sphères concentriques. En particulier, notre troisième système fondamental, qui comprend deux familles de surfaces de révolution à méridiens iso-
( ' ) Mémoire sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, p. 162.
28o LIVRE II. — CHAPITRE V.
thermes, dérive par deux inversions du second système, qui comprend deux familles isothermes.
Nous pourrons donc nous borner, dans l'étude du problème proposé, aux deux premiers systèmes fondamentaux comprenant deux familles isothermes, soit de cylindres, soit de cônes.
158. Pour le premier, qui comprend deux familles de cylindres, l'élément linéaire est donné par la formule
(5i) ds^=dp^-^e^^{dpl + dpl)
avec la condition
L'équation de la chaleur prend la forme
^ 1^ ^ dpl '^ dpl ~ "•
Il faut exprimer qu'elle a des solutions de la forme
V= Pr/i/-2,
ri dépendant de la seule variable p,. En substituant cette valeur de V, on trouve
dHPn) X d^Fr^)
r dp^^ ^ • 7-1 dpl r, dpl
ou encore
dp^ (JpJ ^p^ dp r r
r -uo- ^ ^ , -^
dpi ri fi dpz Ta
dP r'. , r'i dP r', , ri
L'hypothèse est que /', r,, r^ doivent satisfaire respectivement à des équations telles que la suivante
et l'on peut toujours mettre de telles équations sous la forme
(54) //(pt-)K' + 2/;.(p,)r;-4-<pi(p,-)n=o,
RECHERCHE DES SYSTÈMES ISOTHERMES. iSl
que nous adopterons. Il faut substituer dans l'équation (53) les valeurs des dérivées rj déduites des équations précédentes et égaler à zéro les coefficients des dérivées premières ainsi que le terme indépendant. On obtient ainsi les conditions
